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Bonjour, pourriez vous corriger mes erreurs SVP.
Merci d'avance

Exercice 1:

On considère les points A(-2;1), B(1;2), C(7;4), A'(0;-2), B'(1;-2) et C'(5;-2)

1) Vérifier que les points A, B et C sont alignés, ainsi que les points A', B' et C'.

2)a)Déterminer une équation de la droite (AC ') et une équation de la droite (A'C)

b)En déduire les coordonnées du points E, intersection de (A'C) et (AC ')

3)Procéder de la même façon pour déterminer les coordonnées du points F intersection des droites (BC ') et (B'C)

4)Soit [tex]D\left(\frac{1}{5};-\frac{6}{5}\right)[/tex].Vérifier que D appartient aux droites (AB') et (A'B)

5) Démontrer que les points D, E et F dont alignés.

Exercice 2:

ABCD et BDFE sont deux parallélogrammes. Le point K est défini par [tex]\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{CB}[/tex]

1)Justifier les égalités [tex]\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{DF}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}[/tex]

2)Démontrer que [tex]\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{AF}[/tex]

3)Que peut-on en déduire pour le quadrilatère KEFA ?

Exercice 3:

Soit A(1;1), B(-2;7) et C(3;3)

1)Déterminer les coordonnées du vecteur[tex] \overrightarrow{AB}[/tex]

2)En déduire les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.

Exercice 1:

1) [tex]\overrightarrow{AB}(1+2;2-1) \Rightarrow \overrightarrow{AB}(3;1)[/tex]

[tex]\overrightarrow{AC}(7+2;4-1) \Rightarrow \overrightarrow{AC}(9;3)[/tex]

[tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] sont colinéaires

[tex]\Leftrightarrow 3\times3-9\times1=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 9-9=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 0=0[/tex] :ceci est vrai

Par conséquent, les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex] \overrightarrow{AC}[/tex] sont colinéaires

Donc les points A, B et C sont alignés.

[tex]\overrightarrow{A'B'}(1-0;-2+2) \Rightarrow \overrightarrow{A'B'}(1;0)[/tex]

[tex]\overrightarrow{A'C'}(5-0;-2+2) \Rightarrow \overrightarrow{A'C'}(5;0)[/tex]

[tex]\overrightarrow{A'B'}[/tex] et [tex]\overrightarrow{A'C'}[/tex] sont colinéaires

[tex]\Leftrightarrow 1\times0-5\times0=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 0=0[/tex] :ceci est vrai

Par conséquent, les vecteurs[tex] \overrightarrow{A'B'}[/tex] et  [tex]\overrightarrow{A'C'}[/tex] sont colinéaires

Donc les points A', B' et C' sont alignés.

2)a) [tex]\overrightarrow{AC'}(5+2;-2-1)  \Rightarrow \overrightarrow{AC'}(7;-3)[/tex]

[tex]\overrightarrow{AC'}[/tex] est un vecteur directeur de la droite (AC')

Donc (AC'): [tex]-3x-7y+c=0[/tex]

[tex]A(-2;1)\in(AC') \Leftrightarrow -3\times(-2)-7\times1+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 6-7+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow c=1[/tex]

Donc (AC'): [tex]-3x-7y+1=0[/tex]

[tex]\overrightarrow{A'C}(7-0;-4+2)  \Rightarrow \overrightarrow{A'C}(7;6)[/tex]

[tex]\overrightarrow{A'C}[/tex] est un vecteur directeur de la droite (A'C)

Donc (A'C): [tex]6x-7y+c=0[/tex]

[tex]A'(0;-2)\in(A'C) \Leftrightarrow 6\times0-7\times(-2)+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow c=-14[/tex]

Donc (A'C): [tex]6x-7y-14=0[/tex]

b) [tex]E(x;y)=(A'C)\cap (AC') [/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}6x-7y-14=0 \\ -3x-7y+1=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{7y+14}{6} \\ -3\times \frac{7y+14}{6}-7y+1=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{7y+14}{6} \\ \frac{-21y-42}{6}-7y+1=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{7y+14}{6} \\ \frac{-21y-42}{6}-\frac{42y}{6}+1=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{7y+14}{6} \\ \frac{-63y}{6}-6=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{7y+14}{6} \\ \frac{-63y}{6}=6\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{7y+14}{6} \\ -63y=36\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{7y+14}{6} \\ y=\frac{-4}{7}\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{7\times \frac{-4}{7}+14}{6} \\ y=\frac{-4}{7}\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{5}{3} \\ y=\frac{-4}{7}\end{cases}[/tex]

Donc [tex]E(\frac{5}{3}; \frac{-4}{7})[/tex]

3) [tex]\overrightarrow{BC'}(5-1;-2-2)  \Rightarrow \overrightarrow{BC'}(4;-4)[/tex]

[tex]\overrightarrow{BC'}[/tex] est un vecteur directeur de la droite (BC')

Donc (BC'): [tex]-4x-4y+c=0[/tex]

[tex]B(1;2)\in(BC') \Leftrightarrow -4\times1-4\times2+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow c=12[/tex]

Donc (BC'): [tex]-4x-4y+12=0[/tex]

[tex]\overrightarrow{B'C}(7-1;4+2)  \Rightarrow \overrightarrow{B'C}(6;6)[/tex]

[tex]\overrightarrow{B'C}[/tex] est un vecteur directeur de la droite (B'C)

Donc (B'C): [tex]6x-6y+c=0[/tex]

[tex]C(7;4)\in(B'C) \Leftrightarrow 6\times7-6\times4+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 42-24+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow c=-18[/tex]

Donc (B'C): [tex]6x-6y-18=0[/tex]

[tex]F(x;y)[/tex] lorsque (BC')=(B'C)

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}-4x-4y+12=0 \\ 6x-6y-18=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{4y-12}{-4} \\ 6\times \frac{4y-12}{-4}-6y-18=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{4y-12}{-4} \\ \frac{24y-72}{-4}-6y-18=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{4y-12}{-4} \\ \frac{24y-72}{-4}-\frac{24y}{4}-\frac{72}{4}=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{4y-12}{-4} \\ \frac{-48y}{4}=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{4y-12}{-4} \\ -48y=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{4y-12}{-4} \\ y=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=\frac{4\times0-12}{-4} \\ y=0\end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases}x=3 \\ y=0\end{cases}[/tex]

Donc F(3;0)

4) [tex]\overrightarrow{AB'}(1+2;-2-1)  \Rightarrow \overrightarrow{AB'}(3;-3)[/tex]

[tex]\overrightarrow{AB'}[/tex] est un vecteur directeur de la droite (AB')

Donc (AB'): [tex]-3x-3y+c=0[/tex]

[tex]A(-2;1)\in (AB') \Leftrightarrow -3\times(-2)-3\times1+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 6-3+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow c=-3[/tex]

Donc (AB'): [tex]-3x-3y-3=0[/tex]

[tex]D(\frac{1}{5};\frac{-6}{5}\in (AB')\Leftrightarrow -3\times\frac{1}{5}-3\times\frac{-6}{5}-3=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{-3}{5}+\frac{18}{5}-3=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 3-3=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 0=0[/tex] : ceci est vrai

Donc le point D appartient à la droite (AB')

[tex]\overrightarrow{A'B}(1-0;2+2)  \Rightarrow \overrightarrow{A'B}(1;4)[/tex]

[tex]\overrightarrow{A'B}[/tex] est un vecteur directeur de la droite (A'B)

Donc (A'B): [tex]4x-1y+c=0[/tex]

[tex]B(1;2)\in (A'B) \Leftrightarrow 4\times1-1\times2+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 4-2+c=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow c=-2[/tex]

Donc (A'B): [tex]4x-1y-2=0[/tex]

[tex]D(\frac{1}{5};\frac{-6}{5}\in (A'B)\Leftrightarrow 4\times\frac{1}{5}-1\times\frac{-6}{5}-2=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{4}{5}+\frac{6}{5}-2=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 2-2=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 0=0[/tex] : ceci est vrai

Donc le point D appartient à la droite (A'B)

5)  [tex]\overrightarrow{DE}(\frac{5}{3}-\frac{1}{5};\frac{-4}{7}+\frac{6}{5}) \Rightarrow \overrightarrow{DE}(\frac{22}{15};\frac{22}{35})[/tex]

[tex]\overrightarrow{DF}(3-\frac{1}{5};0+\frac{6}{5}) \Rightarrow \overrightarrow{DF}(\frac{14}{5};\frac{6}{5})[/tex]

[tex]\overrightarrow{DE}[/tex] et [tex]\overrightarrow{DF}[/tex] sont colinéaires

[tex]\Leftrightarrow \frac{22}{15}\times\frac{6}{5}-\frac{14}{5}\times\frac{22}{35}=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{132}{75}-\frac{308}{175}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 0=0[/tex] :ceci est vrai

Par conséquent, les vecteurs [tex] \overrightarrow{DE}[/tex] et  [tex]\overrightarrow{DF}[/tex] sont colinéaires

Donc les points D, E et F sont alignés.

Exercice 2:

1) On sait qu'un parallélogramme a ses cotés opposés de même longueur.

Donc [tex]\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{DF}[/tex] et[tex] \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}[/tex]

2) [tex]\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AD}[/tex]

[tex]\overrightarrow{EK}=2\overrightarrow{BC}[/tex]

Or [tex]\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}[/tex]

donc [tex]\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{EK}[/tex]

3) On peut donc déduire que KEFA est un parallélogramme

Exercice 3:

1)[tex]\overrightarrow{AB}(-2-1;7-1) \Rightarrow \overrightarrow{AB}(-3;6)[/tex]

2) ABCD est un parallélogramme donc [tex]\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}[/tex]

[tex]D(xD;yD)[/tex]

[tex]\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases} x_C-x_D= -3 \\ y_C-y-D=6 \end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases} 3-x_D= -3 \\ 3-y_D=6 \end{cases}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow\begin{cases} x_D= 6 \\ y_D=-3 \end{cases}[/tex]

Donc D(6;-3)

PS: Pourriez vous me dire si la rédaction est correcte SVP

Merci d'avance

Bonjours à tous, voilà je suis bloquer a une question de mon DM pourriez vous m'aidez SVP

Dans un grenier, on souhaite construire une chambre de forme parallélépipédique, de volume maximal.

Voir schéma fin de l'exercice.
Données : OA=OB=5m
AD=10m
OP=OP'
(MP)//(BO)
(Mm)//(AD)
ABCD est un rectangle

1) On note OP= x (en m). Expliquer pourquoi MP=5-x
2) Donner l'expression du volume V(x), en m³, de la chambre ( parallélépipède MM'm'mPP'p'p)
3) Tracer la courbe représentative de la fonction V, sur l'intervalle [0;5]
4) Conjecturer la valeur de x pour laquelle le volume de la chambre est maximale et la valeur de ce maximum, en expliquant le démarche.
5) Pauline: "Je cherche la forme canonique de V(x), et je pourrai conclure";
Clément: " Je factorise V(x)-125, puis je pourrai conclure"
Choisir l'une des deux démarches et démontrer la conjecture.

voilà je bloque sur la question 3

Voici mes réponses pour les 2 premières questions:

1) PA=OA-x
     =5-x
Dans le triangle ABO
les points A,M,B et A,P,o sont alignés
(MP)//(BO)
d'après le théorème de Thalès
MP/BO=AM/AB=AP/AO
MP/5=AM/AB=5-x/5

MP=AP*BO/AO= (5-x)*5/5= 5-x

[MP] mesure 5-x mètres

2)ABCD est un rectangle avec A,M,B et D,m,C alignés
(Mm)//(AD)
donc AD=Mm=10m

O est le milieu de [P'P]
OP=x
P'P= 2*PO
   = 2x

[P'P] mesure 2x mètres

Volume de la chambre: (en mètres)
V(x)=P'P*MP*Mm
    =10*2x*(5-x)
    =20x*(5-x)
    =100x-20x²

Et donc la je devrais passer a la question 3 mais je bloque.
regarder mon cour c'est impossible car je viens de commencer les cours et nous n'avons pas de leçons

Pourriez vous m'aidez SVP

Merci d'avance