Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Sans commentaire.

Juste une question, vous utilisez quel modèle ?
Car ca change beaucoup :  j'ai constaté une grosse différence entre la version gratuite, quu fait vite n'importe quoi sur des sujets scientifiques.
Par contre avec le modèle 5.5, on a moins de limitations ainsi, que la fonctionnalité Thinking, et là ca va déjà beaucoup mieux.
Mais il ne faut pas avoir peur de le recadrer, quand vous avez les idées claires, sinon il vous embarque limite dans des délires un peu bizarres (mais en phase d'exploration, ce n'est pas complétement inutile non plus).

Pour apprendre une langue, je trouve que c'est vraiment bien, en general, il traduit très bien en anglais, de quoi apprendre pleins de formules "standardes" et formelles.

Bonjour,

je pense que vous devriez vous regarder devant la glace, avant de porter des jugements complètement interprétatoires et si désagréables. Mais le mieux est sans doute d'ignorer ce passage purement attaque ad personam et inutile, de votre réponse. Mais je me demande bien ce que j'ai pu te faire, pour réussir à me faire dire exactement le contraire de ce que j'ai dit.

Pour préciser mon dernier message : je ne posterais pas le document final, avant d'avoir pu le proposer à la publication, sur arXiv.

Edit : le sujet a aussi naturellement beaucoup évolué.

oui, pareil, ca arrive quelque fois, faut attendre quelques heures ou max quelques jours, la plupart du temps.

Je ne parle pas de démarche purement personnelle (tu fais ce que tu veux), mais sur quel socle se base celui qui pense faire de la science ou des mathématiques.

La science, je veux parler de ce qu'a évoqué LEG (le temps, l'espace, l'astronomie, la physique quantique, etc.), n'expliquent pas, même si on peut être tenté de le dire ainsi (et Me Serfaty l'a dit aussi comme ça d'ailleurs), mais elle décrit, si on veut être précis et employer des termes moins intuitifs.

Pour moi, les mathématiques, et en fait, d'ailleurs une partie seulement des mathématiques, permettent surtout de transmettre et communiquer ces descriptions faites, avec efficacité, c'est-à-dire en minimisant les erreurs, et en formalisant sans ambiguïtés les connaissances.

Ce qui offre ainsi à quiconque, qui s'en donne la peine, qui en a la volonté et aussi peut-être les capacités, la possibilité de comprendre exactement, ce dont il s'agit.

Et à plusieurs niveaux, je fais une distinction nette entre mathématiques et science, d'une part, car comme je l'ai dit, seule une partie des mathématiques est utilisée et deuxièmement car, en maths, il n'y a pas d'obligation d'interpréter intuitivement par exemple, telles ou telles variables comme un temps, l'espace, ou une entropie, etc., et enfin troisièmement car les sciences de l'univers impliquent nos sens biologiques et physiques, alors que les mathématiques sont, elles, motivées même hors du champ du sensible, "du contact avec la matière" et du monde physiquement qui nous entoure (l'univers, donc).

Bonjour Ernst,

quelle est votre profession ou votre domaine d'activité ?

Une bien meilleure version éclaircissant beaucoup de points qui n'avaient pas été complètement ou mal explicités + beaucoup de corrections de forme et de structure ou typos.

Il y aura une partie B et C au moins.
La B est presque déjà presque finie d'être rédigée.
Des subtilités vraiment dans les détails spécifiques m'ont beaucoup freiné mais, c'est reparti sur les rails.
Mon erreur était d'ailleurs tout au début, j'ai donc du revenir jusqu'au début pour retrouver l'erreur (subtilite bien cachée d'un oubli d'une valeur absolue, corrigée dans cette version donc).

Je trouve que ça peut au moins déjà donner lieu à un bon exercice pour un élève de niveau terminale avancée, intéressé par la géométrie et les relations dans un triangle du point de vue de son circumcentre, donnant l'occasion de se familiariser avec beaucoup de formules utiles dans le triangle. J'espère que le lien GeoGebra sur l'image de la construction fonctionnera bien.

PDF

Si ça intéresse quelqu'un, voici la solution de l'exercice dans le pdf : https://drive.google.com/file/d/1pM3IFl … p=drivesdk

Dans ma démarche initiale, j'ai voulu transformer ce problème 2D à un problème 1D, en utilisant des idées de symétrisation.
Je suis alors arrivé à la formule de Crofton (dans l'esprit de Steiner) radiale (projetée en plus car j'ai essayé d'aller au maximum de l'idée), offrant un cadre propre aux considérations de symétrisation.

Je n'ai rien vu de mieux, et je suis très satisfait d'avoir trouvé cette approche, et la richesse des problèmes encore "ouverts" dans ce cadre de réflexion.

C'est assez similaire au raisonnement classique pour arriver à un triangle isocèle mais on peut l'exprimer plus naturellement, rien de plus.

Voici : on veut démontrer dans un certain cadre général, sans avoir à faire de calcul ou raisonnement compliqués :

Parmi tous les triangles de périmètre fixé $p$, le triangle équilatéral maximise l’aire.

L'idée centrale est de retrouver simplement que "Rendre la figure plus symétrique augmente l’aire à périmètre fixé."

On va alors montrer qu’on peut transformer n’importe quel triangle en un triangle isocèle puis équilatéral, en augmentant (ou conservant) l’aire, sans changer le périmètre.

Soit un triangle $ABC$.

On fixe la base $AB$. On garde cette longueur $AB$ constante.

Le périmètre vaut :
$a + b + c = p$
donc $a + b = p - c = \text{constante}$

Symétrisation :  On remplace le point $C$ par un point $C'$ tel que :

$AC' = BC'$
et
$AC' + BC' = AC + BC$
donc le périmètre est conservé.

Alors, parmi tous les points C possibles c'est-à-dire, tels que $AC + BC$ est constant, l'aire augmente quand on rapproche $C'$ de la médiatrice de $AB$.

Ainsi, à périmètre fixé, pour une base donnée, le triangle d’aire maximale est isocèle.

[On retrouve que l'on a maximisé la hauteur (et donc l'aire du triangle $ABC$), puisque $AC + BC = \text{constante}$ est une ellipse et que la hauteur maximale correspond au milieu de $AB$.]

On applique ce raisonnement à $AB$,  à $BC$ puis à $CA$ : chaque étape pousse vers plus de symétrie.

En conclusion, la seule forme stable sous ces symétrisations est le triangle équilatéral.

En résumé, chaque symétrisation augmente ou conserve l’aire. Le processus converge vers l’équilatéral donc l’équilatéral maximise l’aire.

Selon, la lecture de Crofton/Radon, cette preuve signifie :
tu redistribues les "sections" de manière plus uniforme
tu augmentes la moyenne, l’optimum est atteint quand tout est équilibré.

À périmètre fixé, l’aire est maximale pour l’équilatéral :
asymétrie -> gaspillage de "hauteur"
symétrie -> utilisation optimale du périmètre.

Ca se généralise dans ce même cadre, en 2D, à n'importe quel corps convexe : la solution polygone optimale, est bien toujours le polygone régulier.

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Au cas où vous auriez des interrogations plus larges :
- en 3D ou plus, c'est plus compliqué, il n'existe pas toujours de résultat équivalent, pour un nombre de sommet quelconque.
- En 3D, lorsque le nombre de points correspond au nombre de sommets d'un polygone de Platon (il y en a que 5) : 4, 8, 6, 20, 12, ces polygones reguliers sont bien "solutions".
- la formule de Crofton radiale en 2D servant à définir l'aire d'un polygone est la suivante :
$A(K) = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \rho_K(\theta)^2 \, d\theta$
où $\rho_K(\theta)$ est la fonction radiale (distance du centre à la frontière dans la direction $\theta$).

(que l'on sait toujours maximiser donc).

- mais, trouver le solide qui maximise la quantité donnée par la formule radiale croisée, est encore une question ouverte (conjecture) :
$A_{\alpha}(K) = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \rho_K(\theta)\,\rho_K(\theta + \alpha)\, d\theta$

Bonne journée