Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour.

Je suis nouveau et vous remercie de m'accueillir. Je précise tout de suite que je ne suis pas un matheux, donc j'ai sûrement commis des erreurs de base.

J'ai vu récemment sur une vidéo youtube une manipulation assez bluffante, au cours de laquelle un triangle équilatéral en puzzle assemblé dans un logement en bois était assemblé autrement... de manière à dégager assez d'espace pour y insérer un autre petit triangle équilatéral supplémentaire. Je vous joins le lien de la vidéo, ce sera plus parlant : Triangle caché

Comme je suis un peu bricoleur, je me suis dit que j'aillais construire cet objet, mais pour cela, il faudrait que je calcule les dimensions de ce petit triangle, ce qui suppose de calculer aussi la surface des 3 trapèzes qui forment les marges (car l'astuce est évidemment que le 1er triangle n'est pas collé à son logement et qu'il y a assez de marges pour y insérer le second une fois bien ajusté aux marges.

Mais je n'y arrive pas, mes résultats sont incohérents. Quelqu'un peut-il me dire où je me trompe ?

J'ai commencé par décider, arbitrairement, par fixer que mon triangle d'origine - équilatéral - ferait 14 cm de côté (au complet, c'est-à-dire avec son triangle supplémentaire), et que "la marge" de l'illusion serait de 1mm de tous les côtés.

En partant du côté (B), j'ai calculé la hauteur du triangle (H) au moyen de la formule sin(60).B, soit H=12,124 cm (ou 121,24 mm).

L'aire (A) de mon triangle est donc de (B.H)/2, soit 84,87 cm2 (ou 8487 mm2).

Puis - et c'est sans doute les premières marges d'erreur - j'ai voulu calculer l'aire du triangle "illusion", soit celui séparé du bord par une marge de 1 mm. Comme je ne suis pas très doué en trigonométrie, j'ai fait l'impasse du calcul exact de la marge aux pointes du triangle, qui manifestement est plus grande que 1 mm. J'ai donc empiriquement estimé mes nouvelles hauteurs (H') à H-3 (soit 1mm pour le départ, et environ le double à la pointe), soit H'=118,24 mm. Le côté B' est lui celui de B moins 1 mm de chaque côté (lâ encore je pense qu'il y a une petite marge d'erreur avec la pointe, mais bon), soit B-2. Du coup, B'=138 mm.

Sur cette base et la même formule, j'arrive à une aire du triangle "illusion" de A' = (B'.H')/2 = 8159 mm2.

Puis, en soustrayant l'aire du second triangle (A') au 1er triangle (A), j'obtiens en principe l'aire du petit triangle à insérer (a), soit 328 mm2. Donc un triangle équilatéral de 2,752 cm de côté (b) et de 2,383 cm de hauteur (h'). Là, déjà, je le trouve bien grand en proportion par rapport à la vidéo...

Mais cela devrait me suffire à ce stade pour bricoler mes triangles. Par acquit de conscience, j'ai toutefois voulu calculer l'aire des 3 trapèzes manquants dans la marge. Au total formant 328 mm2, chacun d'entre eux devrait faire 1/3 de cette valeur, soit a' = 109,333 mm2.

Soit t et t' la grande et la petite base, c les côtés et h'' la hauteur d'un trapèze. On connait sa grande base (=base du triangle complet, soit t = 140 mm), ainsi que sa hauteur (empiriquement fixée à 1 mm). Donc, avec la formule a'=((t+t').h'')/2, j'ai calculé que la petite base de mes trapèzes (t') ferait... 78,666 mm. Ce qui est impossible, car elle ferait à peine plus de la moitié de la grande base alors qu'elle devrait être plus courte de quelques mm seulement (on la connait d'ailleurs déjà puisque c'est B', la base du triangle "illusion").

Où est-ce que je me suis trompé ?

Merci beaucoup d'avance pour votre aide, j'aimerais pouvoir scier mes planches sans erreur ;)