Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Merci pour vos réponses.

Quant à l'erreur d'énoncé (oubli du carré sur les termes dans la somme afin de prendre la norme de Frobenius), je transmettrai à M. SAGE.
Bonne soirée.

Ce que je viens d’écrire est tiré d’un cours de Marc Sage à l’Ecole Normale Supérieure d’Ulm. Je vous saurai gré de corriger les éventuelles erreurs commises si vous en trouvez.

Ce que vous soulevez est bien mon problème. Je ne considère absolument pas la convergence comme une propriété intrinsèque. Elle n’a effectivement du sens que si une norme lui est associée. D’où ma question : pourquoi la convergence n’est pas issue d’une norme ? En particulier, on définit la topologie de la convergence simple par la topologie des produits infinis.

Cela éclairci déjà un peu ma problématique.

Mais pour dire que la suite $(f_n(x))_n$ tend vers $f(x)$, il faut définir en quelque sorte une distance, un moyen de mesurer à quel point $(f_n(x))_n$ est proche de $f(x)$. Comment savoir si quelque chose se rapproche d'une autre chose sans avoir défini une quelconque manière de mesurer ?

Quand je disais que la notion était floue, sous-entendu pour moi.

J'ai compris la démonstration par l'absurde de Bridgslam.

Donc dire que la convergence simple ne peut pas être induite par une norme signifie qu'il n'existe aucune norme $N$ sur l'espace des fonctions telle que la convergence simple d'une suite de fonctions $f_n \rightarrow f$ équivaut à la condition $N(f_n , f ) \rightarrow 0$ ?

En fait, je ne vois pas pourquoi la convergence uniforme est issue d'une norme alors que la simple non, mais font toutes les deux appel, de manière similaire, à la notion de distance dans leurs définitions.

Cela éclairci votre propos effectivement. Donc cela nous permet d'exclure les cas des applications continues, puisqu'il n'en existe pas.
Cela ne me surprend pas car historiquement Cantor a démontré que $\mathbb{R}$ est en bijection avec $\mathbb{R}^2$ en utilisant le fait que
$\mathbb{R} ←→\mathcal{P}(\mathbb{N}) ←→ \mathcal{P}(\mathbb{Z}) ←→ \mathcal{P}(\mathbb{Z}^*-) \times \mathcal{P}(\mathbb{Z^+})$

$\mathbb{R} ←→ \mathcal{P}(\mathbb{N})^2 ←→\mathbb{R}^2$

Visiblement il va falloir que je donne un autre contre-exemple concernant le fait qu'on ne puisse pas appliquer le théorème à des espaces de dimensions différentes... :

Soit $g : ]–2,1[ \rightarrow \mathbb{R}^2$, avec $g(t) = (t^2 – 1, t^3 – t)$. Eh bien, g est injective et continue, mais n'est pas un homéomorphisme de $]–2,1[$ vers son image. Or l'image ici est une portion de toxoïde (cubique duplicatrice), et la limite de $g$ en 1 est le point double $g(–1)$, ce qui montre que $g^{−1}$ n'est pas continue en ce point.

De plus, à aucun moment je n'ai précisé que nous munissions les espaces considérés de topologies, puisque la continuité de l'application recherchée ainsi que de sa réciproque n'est pas vraiment notre problème ici...

Bonjour,

En réalité, le théorème d’invariance du domaine ne peut pas être appliqué ici, puisque nous parlons d’espace de départ et d’arrivée ayant des dimensions différentes.
En fait je ne questionne pas l’existence d’application injective, puisqu’il existe des bijections entre $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^2$ . Et ceci est avéré.

Je demande si l’un de vous en a un exemple simple…