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Bonsoir à tous,

Je viens de retrouver un exercice sur les valeurs propres, et suis à court d'idées pour la résolution.
Le voilà :

Soient E un espace vectoriel de dimension finie, p un projecteur fixé de E et : [tex]F : L(E) \to L(E)[/tex] définie par :
[tex]F : f \mapsto \frac{1}{2} (f \circ p + p \circ f) [/tex]

a. F est-elle linéaire ?
b. Donner ses valeurs propres
c. Quelles sont les dimensions des sous-espaces propres associés ?

J'en suis là :

a. Oui (il suffit de l'écrire), il y a linéarité de la composition dans L(E)

b. Soit [tex] \lambda [/tex] une valeur propre. Alors il existe f non nul tel que [tex] \frac{1}{2} (f \circ p + p \circ f) = \lambda . f[/tex]... (*) J'ai pensé à composer par p d'abord à gauche sur (*), puis à nouveau sur (*) mais à droite,  j'obtiens
[tex]2 \lambda p \circ f = p \circ f \circ p + f [/tex] car p projecteur
[tex]2 \lambda f \circ p = f + p \circ f \circ p [/tex]
Ces deux expressions étant égales, [tex]\lambda (p \circ f - f \circ p) = 0[/tex]
Donc soit f et p commutent, soit 0 est valeur propre (ce qui d'après (*) revient à dire qu'ils anticommutent)... Et je ne vois comment m'en sortir à partir de là.

Pourriez-vous m'éclairer ?
Bonne soirée