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#1 Re : Entraide (supérieur) » Question d'analyse vectorielle » 05-04-2024 10:13:20
Bon par conséquent en admettant que [tex]\nabla_{y} g = - \nabla_{x} g[/tex] et que [tex]V_{p}[/tex] ne dépend pas de [tex]\textbf{x}[/tex] la réponse est immédiate merci
#2 Re : Entraide (supérieur) » Question d'analyse vectorielle » 05-04-2024 09:55:16
Bonjour Roro,
J'ai introduit l'indicatrice de phase parce que c'est ce qui permet de définir les fractions volumiques [tex] \phi [/tex] mais j'ai sauté cette étape dans mon développement après.
Dans certains papiers je trouve que [tex]\nabla_{y} g = - \nabla_{x} g[/tex] (même si je ne comprends pas trop la justification physique ou mathématique).
Concernant la dépendance de [tex]V_{p}[/tex] à [tex]x[/tex] ce n'est pas très clair, j'avais l'impression que l'indépendance sous entendait des hypothèses un peu trop fortes vis à vis du système physique étudié mais c'est peut être bien ça qu'il y a derrière en fait. Je vais peut être m'en tenir à cette compréhension du problème.
#3 Entraide (supérieur) » Question d'analyse vectorielle » 04-04-2024 12:19:45
- Strajesko
- Réponses : 4
Bonjour, je suis en stage de M2 en mécanique des fluide et dans le cadre de ma recherche bibliographique je fais face à un résultat d'analyse vectorielle que j'ai du mal à comprendre, je m'excuse d'avance pour le formalisme de mécanicien qui j'imagine sera perçu comme un peu barbare pour des matheux :)
Le problème s'inscrit dans le contexte des écoulements diphasiques, on considère un volume d'intégration [tex] V[/tex] et deux sous volumes disjoints [tex]V_{p}[/tex] et [tex]V_{f}[/tex] tels que [tex]V_{p} \cup V_{f} = V[/tex]
On introduit une fonction indicatrice de phase : [tex] \chi(\overrightarrow{y}) = 1[/tex] si [tex] \overrightarrow{y} \in V_{p}[/tex] et [tex] \chi(\overrightarrow{y}) = 0[/tex] si [tex] \overrightarrow{y} \in V_{f}[/tex]
On définit une moyenne volumique pour la grandeur vectorielle quelconque [tex]\overrightarrow{\xi}[/tex] tel que :
[tex] \phi(\overrightarrow{x})<\overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{x}) > ^p= \int_{V_{p}} \overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{y}) g(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) dV_{y} [/tex]
[tex]g[/tex] est défini tel que [tex]\int_{V} g(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) dV_{y} = 1 \quad \forall \overrightarrow{x}[/tex]
[tex]\phi[/tex] tel que [tex]\phi(\overrightarrow{x}) = \int_{V_{p}} g(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) dV_{y} \quad \forall \overrightarrow{x}[/tex]
Le résultat qui me pose problème est le suivant :
[tex] \phi(\overrightarrow{x})<\nabla . \overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{x}) > ^p =\nabla . [\phi(\overrightarrow{x}) <\overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{x}) > ^p ] + \int_{S_{p}} \overrightarrow{n} . \overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{y}) g(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) dS_{y} [/tex]
En repartant de la définition de la moyenne j'arrive à retrouver le deuxième terme de droite l'égalité via le théorème de la divergence mais je n'arrive pas à sortir le premier terme en [tex]\nabla .[\phi(\overrightarrow{x}) <\overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{x}) > ^p ] [/tex]
Dans mon calcul je me retrouve comme il suit : [tex] \phi(\overrightarrow{x})<\nabla . \overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{x}) > ^p = - \int_{V_{p}} \overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{y}) . \nabla(g(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})) dV_{y} + \int_{S_{p}} \overrightarrow{n} . \overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{y}) g(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}) dS_{y} [/tex]
Il s'emblerait donc que -[tex]\nabla .[\phi(\overrightarrow{x}) <\overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{x}) > ^p ] = \int_{V_{p}} \overrightarrow{\xi}(\overrightarrow{y}) . \nabla(g(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})) dV_{y} [/tex] mais je n'arrive pas bien à comprendre comment obtenir un tel résultat.
Merci d'avance et n'hésitez pas à me reprendre si je dois clarifier des notations ou corriger le formalisme :)
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