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Bonsoir,

Je souhaiterai de l'aide sur un exercice d'algèbre linéaire dont voici l'énoncé :

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n et u, v ∈ L (E).
On suppose que u ◦ v = 0 et u + v est un automorphisme.

1. Démontrer que  Im(v) ⊂ Ker(u).
2. Démontrer que  Im(u + v) ⊂ Im(u) + Im(v).
3. Démontrer que  n ≤ rg(u) + rg(v) − dim(Im(u)∩Im(v))
4. Prouver finalement que  rg(u)+rg(v) = n.

[Je me permets de rappeler que rg(u) = dim(Im(u))]

J'ai déjà répondu aux questions 1 et 2 ; quoique pour la question 2 je me demande si l'on peut affirmer, en sachant que u+v est linéaire, que
∀ x ∈ E, (u+v)(x)= u(x) + v(x)

Pour la question 3 je pense qu'on peut utiliser la formule de Grassmann mais je ne vois pas comment l'appliquer au problème
Pour la question 4 je ne vois pas comment les questions précédentes peuvent nous aider...

Voila globalement où j'en suis

Merci d'avance de votre aide