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Bonjour, je travaille sur la géométrie riemanienne. Dans mon cours, le Laplacien est défini sur (M,g) var riemm par :

$\Delta_gF=\sum\limits_ig(\nabla_{e_i}\operatorname{grad}_g F,e_i)$

où $(e_i)$ est une base orthonormée, et $\nabla$ la connexion de Levi-Civita de $g$.

Je considère une transformation conforme de $g$ : $g'=e^{2f}g$
où $f:M\mapsto\mathbb{R}$ est une application lisse.

Pour une fonction $F:M\mapsto\mathbb{R}$, j'ai déjà calculé son gradient selon $g'$ : $\operatorname{grad}_{g'}F=e^{-2f}\operatorname{grad}_gF$. Je cherche ensuite à démontrer la formule suivant :

$\Delta_{g'}F=e^{-2f}\Delta_gF+(n-2)e^{-2f}\sum\limits_{i,j}g_{ij}\partial_if\partial_jF$ (sous réserve que ce soit bien la bonne formule)

Je précise que je n'ai pas la formule du laplacien en coordonnée locale, et que je souhaite trouver la formule sans faire le calcul de la connexion de g' en fonction de celle de g. Mon idée de départ était d'utilisé la formule de Koszul pour faire disparaitre la connexion $\nabla$ de $g'$ dans la définition de $\Delta_{g'}$ mais les calculs n'aboutissent pas. En particulier, je ne vois pas comment je vais pouvoir, de la formule avec la base $(e_i)$ faire des calculs pour trouver la base $(\partial_i)$ dans la formule.

Pouvez vous m'aider ?

Bonjour j'ai un résultat que je n'arrive pas à prouver. L'énoncé est le suivant :

On considère l'isomorphisme unitaire $U$ de $L^2(\mathbb{R})$ sur $\ell^2(\mathbb{N})$
tel que $U:f\mapsto (\langle f,e_n\rangle)_n$ où $(e_n)_n$ est une base hilbertienne de $L^2$, plus précisément, $e_n=H_n\exp{-\frac{x^2}{2}}$, les fonctions propres de l'oscillateur harmonique quantique : $He_n=\lambda_ne_n$ avec $\lambda_n=(n+\frac{1}{2})$ et $H_n$ est le $n-ieme$ polynôme de Hermite.

On def l'espace $s(\mathbb{N})$ comme l'espace des suites à décroissance rapide, c'est à dire $(a_n)_n\in s(\mathbb{N})$
si et seulement si pour tout $k$, $(n^ka_n)_n$ est bornée.

Le but est de montrer que $U(\mathcal{S})=s(\mathbb{N})$

Pour le sens $\subset$, j'ai utilisé que si $f\in\mathcal{S}$, alors $H^kf\in\mathcal{S}$ ($H=\frac{1}{2}(-\partial_x^2+x^2)$) et (par une question précédente) cela implique $(\lambda_n^ka_n)n \in\ell^2$ (où $(a_n)_n=U(f)$)

Cependant impossible de faire le sens réciproque $U^{-1}(s)\subset\mathcal{S}$, avez vous une idée ?