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Bonjour,

Je dois trouver une solution à l'équation différentielle :

[tex]
x''(t) - 10x'(t) + 9x(t) = e^{2t}\cos(t)
[/tex]

Le soucis étant le 2nd membre.

En me plongeant dans mes vieux cahiers de prépa j'ai retrouvé un exercice similaire :

[tex]
y''(x) - 2y'(x) + 2y(x) = 2e^x\sin(x)
[/tex]

Pour la résoudre on avait réécrit le second membre en utilisant la formule d'Euler :

[tex]
-i e^{(1+i)x} + i e^{(1-i)x}
[/tex]

En utilisant le principe de superposition on à chercher une solution sous la forme :

[tex]
y_p(x) = \alpha e^{(1+i)x}
[/tex]

On obtiens alors un système qui nous dit que :

[tex]0 = -i[/tex]

On passe donc à une solution du type :

[tex]y_p(x) = (\alpha x + \beta) e^{(1+i)x}[/tex]

Finalement on identifie :

[tex]\alpha = -\frac{1}{2}[/tex]

Et donc on obtient :

[tex]y_p(x) = \left(-\frac{1}{2} x + \beta\right) e^{(1+i)x}[/tex]

"Comme on cherche une solution particulière on fixe :

[tex]\beta = 0[/tex]"

En physique ça poserait pas un problème ?

On obtient comme solution particulière :

[tex]y_p(x) = \left(-\frac{1}{2} x\right) e^{(1+i)x}[/tex]

On a alors la solution conjugué :

[tex]y_p(x) = \left(-\frac{1}{2} x\right) e^{(1-i)x}[/tex]

Et la solution particulière :

[tex]y_p(x) = -x \cos(x) e^x[/tex]

Pour en revenir à mon cas présent :

[tex]
x''(t) - 10x'(t) + 9x(t) = e^{2t}\cos(t)
[/tex]

[tex]y_p(t) = \alpha e^{(2+i)t}[/tex]

Me donne :

[tex]0 = \frac{1}{2}[/tex]

Donc je monte d'un degré :

[tex]y_p(t) = (\alpha t + \beta) e^{(2+i)t}[/tex]

Je calcul mes dérivées :
[tex]y_p'(t) = \alpha e^{(2+i)t} + (\alpha t + \beta)(2+i)e^{(2+i)t}[/tex]
[tex]y_p''(t) = 2\alpha(2+i)e^{(2+i)t} + (\alpha t + \beta)(2+i)^2 e^{(2+i)t}[/tex]

Je reporte :

[tex]2\alpha(2+i)e^{(2+i)t} + (\alpha t + \beta)(2+i)^2e^{(2+i)t} - 10\left(\alpha + (\alpha t + \beta)(2+i)\right)e^{(2+i)t} + 9(\alpha t + \beta)e^{(2+i)t} = \frac{1}{2}e^{(2+i)t}[/tex]
[tex]2\alpha(2+i) + (\alpha t + \beta)(2+i)^2 - 10\left(\alpha + (\alpha t + \beta)(2+i)\right) + 9(\alpha t + \beta) = \frac{1}{2}[/tex]

Et à partir de là je ne sais pas quoi poser comme système.

Auriez vous des pistes ? J'aimerais comprendre pourquoi je suis bloqué à ce stade avec cette méthode.

Merci d'avance, bonne journée,
Mathieu.