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% DSBmath - 27 Janvier 2026 - Un "deux"

clc, clear all

syms u v

uB=1/u; vB=1/v; % Deux complexes de module 1
                % Le suffixe B signifie "conjugué"

syms b real

%-----------------------------------------------------------------------
% Ca est le cercle unitaire de centre a1=0 et de rayon 1
% Cb est le cercle unitaire de centre b1=b et de rayon 1
% A2 est sur Ca et B2 est sur Cb

a1=0; a1B=0; b1=b; b1B=b;
a2=u; a2B=uB; b2=b+v; b2B=b+vB;

X=(b1-a1)*(b1B-a1B); Y=(b2-a2)*(b2B-a2B); % Carrés des distances
Z=(b2-a1)*(b2B-a1B); T=(b1-a2)*(b1B-a2B); % A1B1 etc...

A=X+Y+Z+T; B=X*T+X*Z+Y*Z+Y*T; C=2*X*Y+2*Z*T;
D=X^2*Y+X*Y^2+Z^2*T+Z*T^2; E=X*Y*Z+X*Y*T+X*Z*T+Y*Z*T;

DEUX=Factor(A-B+C-D+E) % On trouve DEUX=2 et c'est gagné
 

def miroir(n):
    return int(str(n)[::-1])

def F(n):
    k, nb = len(str(n)), 0
    for p in range(10**(k-1),10**k):
        if p+n==miroir(p):
            nb+=1
    return nb

def G(p,q):
    s=0
    for n in range(p,q+1):
        s+=F(n)
    return s

print(G(10,1013))
 

IM=[0, 1, -1];
L=SimplifieBary(Wedge(ApD,BpC)); % L=[a^2*b, -(a^2-2*b^2)*(b+2*t), -(a^2-2*b^2)*(b-2*t)]
Lp=SimplifieBary(Wedge(ACp,BDp)); % Lp=[-a^2*b, (a^2-2*b^2)*(b-2*t), (a^2-2*b^2)*(b+2*t)]
Ls=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(L,IM,a,b,b));
Un7=Ls./Lp % On trouve Un7=[1; 1; 1] donc Ls=Lp

%-----------------------------------------------------------------------

N=SimplifieBary(Wedge(AC,BD));
Np=SimplifieBary(Wedge(ApDp,BpCp));
Ns=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(N,IM,a,b,b));
Un8=Ns./Np % On trouve Un8=[1; 1; 1] donc Ns=Np

%-----------------------------------------------------------------------

P=SimplifieBary(Wedge(AC,BDp));
Pp=SimplifieBary(Wedge(ApDp,BpC));
Ps=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(P,IM,a,b,b));
Un9=Ps./Pp % On trouve Un9=[-1; -1; -1] donc Ps=Pp

%-----------------------------------------------------------------------

Q=SimplifieBary(Wedge(BD,BpC));
Qp=SimplifieBary(Wedge(BDp,BpCp));
Qs=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(Q,IM,a,b,b));
Un10=Ps./Pp % On trouve Un10=[-1; -1; -1] donc Qs=Qp

%-----------------------------------------------------------------------

R=SimplifieBary(Wedge(AC,ApD));
Rp=SimplifieBary(Wedge(ACp,ApDp));
Rs=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(R,IM,a,b,b));
Un11=Rs./Rp % On trouve Un11=[-1; -1; -1] donc Rs=Rp

%-----------------------------------------------------------------------

S=SimplifieBary(Wedge(ACp,BD));
Sp=SimplifieBary(Wedge(ApD,BpCp));
Ss=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(S,IM,a,b,b));
Un12=Ss./Sp % On trouve Un12=[1; 1; 1] donc Ss=Sp

%-----------------------------------------------------------------------

F=Wedge(AC,ApDp); G=Wedge(ApD,ACp); H=Wedge(BDp,BpC);
FL=Wedge(F,L); PQ=Wedge(P,Q); HN=Wedge(H,N); PpR=Wedge(Pp,R);
DDp=Wedge(D,Dp); SQp=Wedge(S,Qp); GNp=Wedge(G,Np); RpSp=Wedge(Rp,Sp);
NulFL=Factor(FL*E)
NulPQ=Factor(PQ*E)
NulHN=Factor(HN*E)
NulPpR=Factor(PpR*E)
NulDDp=Factor(DDp*E)
NulSQp=Factor(SQp*E)
NulGNp=Factor(GNp*E)
NulRpSp=Factor(RpSp*E)
% On trouve NulFL=NulPQ=NulHN=NulPpR=NulDDp=NulSQp=NulGNp=NulRpSp=0, donc
% les 8 droites (FL),(PQ),(NH),(P'R),(DD'),(SQ'),(N'G),(R'S') passent par E

%-----------------------------------------------------------------------

FLp=Wedge(F,Lp); PpQp=Wedge(Pp,Qp); HNp=Wedge(H,Np); PRp=Wedge(P,Rp);
CCp=Wedge(C,Cp); QSp=Wedge(Q,Sp); GN=Wedge(G,N); RS=Wedge(R,S);
NulFLp=Factor(FLp*Ep)
NulPpQp=Factor(PpQp*Ep)
NulHNp=Factor(HNp*Ep)
NulPRp=Factor(PRp*Ep)
NulCCp=Factor(CCp*Ep)
NulQSp=Factor(QSp*Ep)
NulGN=Factor(GN*Ep)
NulRS=Factor(RS*Ep)
% On trouve NulFLp=NulPpQp=NulHNp=NulPRp=NulCCp=NulQSp=NulGN=NulRS=0 donc
% les 8 droites (FL'),(P'Q'),(N'H),(PR'),(CC'),(S'Q),(NG),(RS) passent par E'

%-----------------------------------------------------------------------

NulConic1=Factor(CoconiquesBary(C,Cp,D,Dp,H,G))
NulConic2=Factor(CoconiquesBary(C,Cp,D,Dp,N,Np))
% On trouve NulConic1=NulConic2=0 donc c'est gagné

% Coefficients de l'équation de la conique Co1 sous la forme
% a x^2 + b y^2 + c z^2 + d x*y + e y*z + f z*x = 0
Co1=SimplifieBaryT(Conique5PointsBary(C,Cp,D,Dp,H));
% On trouve Co1 =
% (a^2-2*b^2)^2*(b+2*t)^2
% a^4*b*(b+2*t)
% a^4*b*(b+2*t)
% a^2*(a^2-2*b^2)*(b+2*t)^2
% -a^4*b^2
% a^2*(a^2-2*b^2)*(b+2*t)^2

% Coefficients de l'équation de la conique Co2 sous la forme
% a x^2 + b y^2 + c z^2 + d x*y + e y*z + f z*x = 0
Co2=Conique5PointsBary(C,Cp,D,Dp,N);
% On trouve Co2 =
% b*(a^2-2*b^2)^2*(3*b+4*t)
% a^4*b*(b+2*t)
% a^4*b*(b+2*t)
% a^2*b*(a^2-2*b^2)*(3*b+4*t)
% a^4*(b-2*t)*(b+2*t)
% a^2*b*(a^2-2*b^2)*(3*b+4*t)

% Centre de Co1:
Ce1=CentreConiqueBary(Co1(1),Co1(2),Co1(3),Co1(4)/2,Co1(5)/2,Co1(6)/2);
% On trouve Ce1 =
% [a^2*(8*(2*b^2-a^2)*t^2 - 4*b*(a^2-4*b^2)*t - b^2*(a^2-4*b^2));
%  (a^2-2*b^2)*(a^2-4*b^2)*(b+2*t)^2;
%  (a^2-2*b^2)*(a^2-4*b^2)*(b+2*t)^2]

% Centre de Co2:
Ce2=CentreConiqueBary(Co2(1),Co2(2),Co2(3),Co2(4)/2,Co2(5)/2,Co2(6)/2);
% On trouve Ce2 =
% [-a^2*(4*a^2*t^2 + 4*b*(a^2-4*b^2)*t + 3*b^2*(a^2-4*b^2));
%   b*(a^2-2*b^2)*(a^2-4*b^2)*(3*b+4*t);
%   b*(a^2-2*b^2)*(a^2-4*b^2)*(3*b+4*t)]