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Bonjour voici le sujet
Soit $E=L^2(\mathbb{R})$ muni de sa topologie usuelle. Soit $\alpha>0$ et $\left(p_n\right)_{n \in N \text { - la suite de }}$ $E$ définie par
$$
\varphi_n=\frac{n^{3 / 2}}{n^{2 \alpha}+x^2}
$$
2) Donner, en le justifiant les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la suite $\left(\varphi_n\right)_{n \in v^*}$ vers $0_E$.
3) Donner, en le justifiant les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la suite $\left(\varphi_n\right)_{n \in N \text {. ne converge pas }}$ faiblement vers $\theta_E$.

j'ai repondu a la 2
Pour montrer que la suite $(\psi_n)$ converge fortement dans $L^2(\mathbb{R})$ vers $\theta_{L^2(\mathbb{R})}$, c'est-à-dire que $\|\psi_n - \theta_{L^2(\mathbb{R})}\|_{L^2(\mathbb{R})} \to 0$ quand $n \to \infty$, où $\theta_{L^2(\mathbb{R})}$ est l'élément neutre de l'espace $L^2(\mathbb{R})$, on peut procéder comme suit:

$$
\begin{aligned}
\|\psi_n - \theta_{L^2(\mathbb{R})}\|_{L^2(\mathbb{R})}^2 &= \int_{-\infty}^{\infty} |\psi_n(x) - 0|^2 dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{n^3}{(n^{2\alpha}+x^2)^2} dx \\
&= \frac{n^3}{n^{4\alpha}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(1+(x/n^{\alpha})^2)^2} \\
&= \frac{1}{n^{3\alpha-3}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{du}{(1+u^2)^2}, \quad \text{avec } u=x/n^{\alpha} \\
&\leq \frac{1}{n^{3\alpha-3}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{du}{1+u^2} \\
&= \frac{\pi}{n^{3\alpha-3}},
\end{aligned}
$$
où l'on a effectué le changement de variable $u=x/n^\alpha$ et utilisé l'inégalité $(1+u^2)^2 \geq (1+u^2)$ pour obtenir la dernière inégalité.

Comme $\alpha > 1$, on a $3\alpha-3 > 0$, et donc $\frac{\pi}{n^{3\alpha-3}} \to 0$ quand $n \to \infty$. Par conséquent, $\|\psi_n - \theta_{L^2(\mathbb{R})}\|_{L^2(\mathbb{R})} \to 0$ quand $n \to \infty$, ce qui montre que la suite $(\psi_n)$ converge fortement dans $L^2(\mathbb{R})$ vers $\theta_{L^2(\mathbb{R})}$.

mais je bloque a la 3