Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour!

Je m'excuse d'avance si les termes ou les notations que j'utilise sont abusives ou fausses (dites moi si il y a des erreurs), je viens de la biologie initialement, donc mes bagages en mathématiques sont relativement "légers". Je suis entrain de construire un modèle mathématique, mais je butte sur un calcul qui me serait pourtant utile.

J'aimerai calculer cette Variance:

[tex] Var( \int_{0}^{\tau} c sin(\alpha)(v_{y_0} + \int_{0}^{t} \epsilon_y(s) ds ) p(t) dt ) [/tex]

avec: [tex] \tau \in [0,+\infty[ [/tex], le "temps total de déplacement" fixé.
         [tex] \alpha \in ]0, 2 \pi [ [/tex] un angle fixé different de 0
         [tex] c \in \Re [/tex] fixé
         [tex]v_{y_0} \in [0, + \infty [ [/tex] une vitesse initiale fixée
         [tex] p [/tex] une fonction continue bornée dans [0,1] sur l'intervalle [tex][0, \tau][/tex]
         [tex] \epsilon_y(s)  [/tex]  , est la réalisation d'une variable aléatoire suivant une loi normale centrée, et de variance [tex] \sigma^2  [/tex], (chaque [tex]\epsilon_y(s)[/tex]  sont indépendants les uns des autres (tirés de variables aléatoires indépendantes entre elles).

Premièrement,

[tex] Var( \int_{0}^{\tau} c sin(\alpha)(v_{y_0} + \int_{0}^{t} \epsilon_y(s) ds ) p(t) dt )  = Var( \int_0^{\tau} csin(\alpha)v_{y0}p(t)dt ) + Var( \int_0^{\tau} csin(\alpha)p(t)(\int_{0}^{t} \epsilon_y(s) ds ) dt) [/tex]
[tex]= 0 + Var( \int_0^{\tau} csin(\alpha)p(t)(\int_{0}^{t} \epsilon_y(s) ds ) dt)[/tex] puisque [tex] \int_0^{\tau} csin(\alpha)v_{y0}p(t)dt [/tex] est une constante, donc de variance 0

Il ne me reste plus qu'à calculer  [tex]Var( \int_0^{\tau} csin(\alpha)p(t)(\int_{0}^{t} \epsilon_y(s) ds ) dt)[/tex], mais ici il y a un problème car pour deux [tex] (t_1, t_2) \in [0,\tau]^2 [/tex] avec [tex]t_1 < t_2 [/tex] donnés, [tex] \int_0^{t_1} csin(\alpha)p(t)(\int_{0}^{t} \epsilon_y(s) ds ) dt[/tex]  et  [tex] \int_0^{t_2} csin(\alpha)p(t)(\int_{0}^{t} \epsilon_y(s) ds ) dt[/tex] ne sont pas indépendants.

Je ne peux donc PAS continuer en concluant: 
[tex]Var( \int_0^{\tau} csin(\alpha)p(t)(\int_{0}^{t} \epsilon_y(s) ds ) dt) = \int_0^{\tau} Var(csin(\alpha)p(t)(\int_{0}^{t} \epsilon_y(s) ds )) dt = \int_0 ^{\tau} ( \int_0^t Var(csin(\alpha)p(t)\epsilon_y(s)ds) dt [/tex]
[tex] = \int_0^{\tau} ( \int_0^t c^2 sin^2(\alpha)p(t)^2 \sigma^2 ds ) dt   =  \int_0^{\tau} (  c^2 sin^2(\alpha)p(t)^2 \sigma^2 t ) dt 
= c^2 sin^2(\alpha)\sigma^2 \int_0^{\tau} t p(t)^2 dt [/tex] qui est facile à calculer.

Cette indépendance m'empêche de continuer comme ci dessus, est ce que quelqu'un à une idée pour m'aider?
Merci d'avance et bonne journée!