Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous,
Dernièrement, j'ai repris l'exercice suivant :

Soit f une application de E dans F, avec E et F deux K-evs.
Montrer que :
f est continue ssi pour tout A une partie de E, f(adh(A)) inclus dans adh(f(A)).

adh désigne l'adhérence.

Pas de soucis pour le sens direct par caractérisation séquentielle.

Cependant, pour le sens réciproque je bloque un peu. J'ai essayé de raisonner par l'absurde en prenant la négation de la définition quantifiée de la continuité de f. Je dispose alors d'un point a, d'un epsilon>0 et d'une suite (x_n) tels que :

pour tout n dans N, f(x_n) \in f(Bf(a, 1/n))
f(x_n) "not in" Bf(f(a), epsilon)

Cependant je n'arrive pas à conclure à une absurdité et en particulier à utiliser l'hypothèse sur les boules, et plus précisément je ne vois pas clairement le lien entre l'image de la boule et la boule centrée en f(a), f n'étant pas continue.

Auriez-vous des suggestions pour conclure s'il vous plaît ? Merci beaucoup de m'avoir lu.