Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,

Merci pour l'explication.
Je comprends tout à fait.

Petite suggestion : un 1ère ligne : allow(white list d'URLs de "copains").

C'était juste ma façon de souhaiter un contre-exemple plus terre-à-terre (que je suis incapable de trouver !).
Il va de soi que l'axiome du choix est un citoyen ordinaire au pays des espaces de dim.infinie, je partage ta réflexion.

Merci pour le lien. C'est une traduction automatique (avec massacre du code MathML) de cette réponse (*) de Ryszard Szwarc, un prof de l'institut de Mathématiques de l'Académie des Sciences de Pologne. Ta présentation est plus reposante que son style pressé (ce qui n'enlève rien au brillant de sa trouvaille).

La réponse suivante de José Carlos Santos est intéressante : il donne l'exemple de $A=\left[\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\right]$ dans $\Bbb R^4$ pour la norme infinie : $\left\|A^2\right\|_\infty=\left\|\left[\begin{smallmatrix}1&2\\0&1\end{smallmatrix}\right]\right\|_\infty=2\gt 1 = \left\|A\right\|_\infty$, et $(\Bbb R^4,\left\|.\right\|_\infty)$, bien que complet, n'est ainsi pas algèbre de Banach.
Évidemment cet exemple ne convient pas car le produit est quand-même continu, comme tout ce qui est multilinéaire en dim.finie.

Pardon pour ma remarque brouillonne : j'ai lu/compris ta phrase de travers.
Je faisais allusion au fait suivant (qui ne s'applique pas ici) (j'explicite ce que tu dis sur la stabilité de $(E_1,\star)$) :
Si $(E,\left\|.\right\|)$ (ici $(\Bbb R,|.|)$) est une algèbre (complète ou pas), $(\ell^1(\Bbb N,E),\star)$ est toujours stable pour $\left\|.\right\|_1$.
Ceci par simple inégalité triangulaire de $\left\|.\right\|$ : si $c=u\star v$,  la somme partielle $\sum \left\|c_i\right\|$ $\le (\sum \left\|u_i\right\|)(\sum \left\|v_i\right\|)$ $\le \left\|u\right\|_1 \left\|v\right\|_1$, car $\left\|x\right\|_1 = \sup \sum \left\|x_i\right\|$.
(La complétude est cependant "pratique" pour la convergence des opérandes ! En effet $E$ est complet ssi toute série abs.cv. est cv.).
$\left\|.\right\|_1$ (norme de la cv.abs.) est ainsi "bénite" pour ne jamais avoir à se justifier par rapport à la convolution.

Ici cette "bénédiction" se transmet à $\Vert . \Vert$ via $\Phi$, par construction ($u\star v \in (E_1,\left\|.\right\|_1) \Rightarrow \Phi(u\star v) \in E_2 $ $\Leftrightarrow  u\star v \in (E_1,\left\|.\right\|)$).

* : question 4433863 de https://math.[l'échange de pile] (traduire en anglais), le forum n'accepte pas que ce site (spécialisé en maths, avec des participants brillants) soit mentionné ! (considéré spam !)