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#1 Re : Entraide (supérieur) » DM de structure Algébrique » 30-11-2022 14:32:56
Bonjour,
Pour la 8) j'ai l'impression que tu as la bonne idée, par l'absurde $x:= \sqrt[5]{3}\in \mathbb{Q}(\alpha)$, où $\alpha = \sqrt[5]{2}$, alors $(1,\alpha,\alpha^2, \alpha^3, \alpha^4)$ est une $\mathbb{Q}$ base de $\mathbb{Q}(\alpha)$ en particulier elle est génératrice et donc on a des coefficients rationnels $(x_i)_{0\leq i\leq 4}$ tels que $x = \sum_{i=0}^4 x_i \alpha^i$.
On sait que $Tr(x\alpha^i) =0$ pour $i\in\{0,\dots,4\}$ et que $Tr(\alpha^i)=0$ pour $i\in\{1,\dots,4\}$ et que $Tr$ est $\mathbb{Q}$ linéaire. On déduit de $Tr(x)=0$ que $x_0=0$, pourquoi ? Car par $\mathbb{Q}$ linéarité et en utilisant les questions 4) et 5) on trouve $Tr(x) = \sum_{i=0}^4 x_i Tr(\alpha^i) = x_0 Tr(1) + 0= 5x_0$. Puis on déduit de même de $Tr(x\alpha)=0$ que $x_4=0$ etc... la contradiction est bien celle que tu as écrite. (peut être revoir les coefficients de ta matrice $5\times 5$ j'ai l'impression qu'il y a des erreurs, et je n'ai pas compris comment tu conclus après).
Bonne journée
Merci beaucoup Glozi, ça m'a beaucoup aidé pour le DM ;)
#2 Re : Entraide (supérieur) » DM de structure Algébrique » 27-11-2022 17:23:55
Merci beaucoup,
Je suis arrivé à donner des réponses à toutes les questions mais je pense avoir plus ou moins tout compris sur cette exercice sauf pour ce qu'il en est de la question 8. Pourriez vous m'aider ? https://www.cjoint.com/c/LKBqvtZCmfF
#3 Entraide (supérieur) » DM de structure Algébrique » 24-11-2022 10:17:29
- MadScientist
- Réponses : 7
Bonjour,
Je viens vers vous car je bloque sur ce DM que m'a donné mon professeur de structure algébrique. C'est quelque chose que l'on a vue que très récemment et la deadline approche furieusement.
1)Par le theoreme de caley-Hamilton On sait que le polynome caractéristique de [tex]m_{\alpha}[/tex] annule [tex]m_{\alpha}[/tex] donc annule [tex]\alpha x[/tex] en posant x=1 ce polynome caractéristique a comme racine [tex]\alpha[/tex]. Or par minimalité du polynome minimal de [tex]\alpha[/tex], ce poynome minimal divise le polynome caractéristique.
On a egalité lorsque
2) c'est une demonstration assez classique
3) Etant donné que le polynome minimal divise le polynome caractéristique, il faut trouver les racines du polynome minimal afin de trouver certaines valeurs propres du polynome caractéristique (comme la trace est la somme des valeurs propres). Cependant je ne vois pas comment exprimé la trace en fonction de a1,...,an.
Cependant pour les autres question c'est le flous complet, donc si vous pouviez me donner des pistes pour que je puisse débuter ce DM et le finir à temps, j'apprécierais sincèrement.
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