Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Même si c'est quasi-évident, la preuve de Fred montrant effectivement l'unicité, il reste à voir tout de même qu'il existe bien aussi dans U une partie P connexe non bornée. La composante connexe de U qui contient P non bornée est elle-même non bornée, d'où son existence...

Tof

Bonjour,

Un trou de quelque chose, c'est bien vide de tout élément dans ce quelque chose.
Donc c'est normal.

Tof

Bonjour,

Si vous y tenez, le livre de J-L Krivine ( chez Cassini je crois, ou vieux Que-sais-je ) donne un bon aperçu de la théorie ZFC en se cantonnant même juste aux premiers chapitres.
Le tome 1 d'Algèbre Ramis fait une présentation succinte mais très propre aussi (avec l'axiome de fondation en moins).

Je crains que vous perdiez du temps de travail en vous plongeant dans ce genre de lecture, très axiomatique, qui n'a pas d'intérêt immédiat dans un exercice comme le vôtre ( et bien d'autres).
Une lecture en diagonale (sans jeu de mot) des axiomes de base donne cependant une idée utile de comment est construite la théorie ZFC.
Quel est vôtre niveau d'étude ?

Tof

Bonjour,

Pour la question 4 la réponse  s'exprime simplement au moyen d'une implication en revenant aux éléments.
Si on veut néanmoins s'en tenir à une formulation ensembliste , en notant $\Delta$ les diagonales cela revient à dire 

$(f \times g ) ( \complement \Delta_{A \times C} ) \subset  ( \complement \Delta_{B \times D} )$

Plus subtil, mais a le mérite de mettre en valeur le comportement conjoint de f et g.

La question 3 s'exprime également par:

$(f \times g ) (  \Delta_{A \times C} ) \subset  (  \Delta_{B \times D} )$

Tof

Quel g notamment, on peut en trouver plein d'inutiles non?

Bonjour,

Cela dépend de vôtre S: dans  $(\mathbb{Z}, +)$ pour S = {2},  <S> = contient bien à la fois 2 et 4.

Sinon dans un groupe quelconque, les élément 2 ou 4 que vous invoquez n'ont pas de sens.
Le théorème est général.

Tof

Bonsoir,

Sinon pour la suite de vos questions :
   <S> comme tout sous-groupe contenant S,  doit contenir au moins tous  les produits finis ( y compris le produit vide égal au neutre de G) d'éléments de S ou leur  symétrique (le ou n'est pas exclusif, il se peut qu'ils soient égaux), il n'y a pas le choix.
Or pour l'ensemble H de ces produits on a deux propriétés remarquable:

- H est un sous-groupe de G
- H contient S par construction.

Ainsi H = <S> répond à la question.
Il est unique aussi par construction.

Tof

Bonjour,

@Fred : ta proposition de solution convient à merveille si Evil77 proposait le contexte des évènements en ces termes, ce qui ne saute pas aux yeux, et donc à mon sens demande à être clarifié au plan de l'expérience aléatoire, je n'ai donc pas dit que c'était faux évidemment. C'est une belle solution si le contexte est bien celui-là.
En quelque sorte tu proposes la modélisation (donc son contexte) conjointement à sa solution.
C'est plutôt à Evil77 de la préciser (en plus je ne connais rien à la biologie ni aux expériences subséquentes).

Il y a deux façons de voir l'univers et donc les probabilités qui vont avec dans ce que propose Evil77.
Après tout dans les exercices de probabilités avec les urnes et les boules, ceux où on pioche simultanément les yeux bandés, en pleine nuit sans lune et dans un tunnel non éclairé t boules parmi 16N correspondent à l'autre angle de vue :-).

@Evil77 : oui les + et les - alternent depuis le premier terme ( à cause de la formule d'inclusion-exclusion ou "crible de Poincaré" ), la relation à exactement la même structure ( si opération sans remise ) que celle du fil de Tony_Levalois.
Avec remise les coefficients binomiaux multiplicateurs restent pareils, il faut juste remplacer les autres ( choix de parties ) en choix d'applications.

[nota bene] à un répunit près,  Evil66 ça enfonce le clou :-)

Tof

Bonjour,

Néanmoins le contexte d'étude du sujet de Capes semble légèrement différent:
Capes: on regarde à chaque tirage ce qui est obtenu pour s'arrêter au t ième tirage dès que tous les ADN sont sortis (ou les vignettes en l'occurence).
Tof  :  on tire t fois ( sans rien regarder ), et on s'intéresse après coup en découvrant le tirage complet au fait qu'après ces t tirages on a ce qu'on veut ( la réussite a pu se produire avant le dernier tirage,avec quand-même un minimum de 16...)
C'est plutôt la deuxième option qui est évidemment de mise quand on joue aux cartes ( la main est lue non seulement quand elle est complète mais - par courtoisie - quand les 3 autres joueurs ont eu aussi la leur, en tous cas quand la distribution est humaine, en tournoi on utilise plutôt des étuis pré-remplis).
A la belote, tarot,... pareil on ne contemple pas à chaque carte donnée celle qu'on a reçu
Je ne pense pas que les deux problèmes soient tout à faits équivalents, et donc cela demande à être spécifié dans vôtre contexte d' étude biologique).
Très intéressant en tous cas.

Tof

Bonsoir,

La question sans remise est analogue au post auquel avait répondu bridgslam sur le dénombrement de mains sans chicane au bridge ( pack de 4 couleurs, 13x4 cartes , une main est un prélèvement de 13 cartes... ) Il faut penser à utiliser le crible de Poincaré. En cherchant le post doit être retrouvable.
Ici en somme, vous voulez une main de t cartes prélevées parmi 16 couleurs (les ADNs) de N cartes  ( remise ou pas remise) , sans louper une couleur.

Avec remise, on ne peut éviter non plus le passage par Poincaré. Je vais développer cela puisque l'autre cas est résolu sur l'autre post, juste en modifiant les paramètres.

Soit p la probabilité que, en t tirages,  on ait obtenu des cartes de chaque couleur.

1 - p = p' est la probabilité (contraire) d'avoir un prélèvement où il manque au moins une couleur parmi 16.

p' est  $\binom{16}{1}  (15N)^t / (16N)^t$  à laquelle  il faut retrancher $\binom{16}{2}  (14N)^t / (16N)^t$  à laquelle il faut ajouter $\binom{16}{3}  (13N)^t / (16N)^t$  à laquelle il faut retrancher ... jusqu' aux mains d'une seule couleur... et en supposant que ce sont les applications des mains de t cartes dans le lot total qui sont équiprobables.
En effet les ensembles de mains où il manque une couleur données ne sont pas disjoints, et il faut passer par ces sommes-différences alternées

On revient à p = 1 - p' =  1 - (une somme alternée) qui donne une solution (réelle) en t si p est donné.

Tof
Vous devez  prendre ensuite le plus petit entier au moins égal au t trouvé.

Je ne pense pas qu'il y ait de formule littérale t = f(p) vue las difficulté du dénombrement.

Tof

Bonjour,

oui, ça le fait bien à partir de cette excellente idée de Roro ( c'est du calcul, les choses se simplifient énormément et rapidement):

en posant par exemple $g(x) = xf(x)$ et en supposant $x -> h(x) = f(1/x)$  convexe:

$g( ta + (1-t) b) = ( ta + (1-t) b) f(  ta + (1-t) b) = \frac{1}{ s\alpha + (1-s)\beta} f(  \frac{1}{ s\alpha + (1-s)\beta} )$

Le terme de droite est majoré par $ \frac{s}{ s\alpha + (1-s)\beta} f( 1/\alpha)  + \frac{1-s}{ s\alpha + (1-s)\beta} f( 1/\beta)$
puisque h est convexe , qui se réécrit simplement en $taf(a) + (1-t)bf(b) = tg(a) + (1-t)g(b)$.
g est donc convexe.

L'autre implication se fait de façon analogue.

On a par exemple sans aucun calcul ( dérivée, étude de monotonie, etc juste connaissant grosso merdo la fonction $ln$ ) que $x -> xln(x)$ est convexe sur $]0, +\infty [$
En effet $ln$ est concave sur $]0, +\infty [$ ... donc son opposée est convexe.

Tof

Bonjour Yoshi,

La fonction x -> cos( 2x/3 ) est $3\pi$ périodique. Mais quel rapport avec la question initiale?
Par ailleurs je n'ai pas bien pigé "donner avantage" à ceci ou cela pour le "traçage"... et traçage de quoi en plus ? !
Au premier post, on en est à se demander s'il n' y a pas une coquille...

Abdoumahmoudy, merci de poser des questions claires... de quoi vous parlez précisément, et ce à quoi que vous voulez parvenir...
Quand vous parlez de la fonction cos cela a un sens précis ( ensemble de définition, d'arrivée etc notions du collège ) , etc.
Si l'énoncé n'était pas clair pour vous, il le sera encore moins pour le forum après votre propre interprétation du sujet.
Le mieux est alors de poster l'énoncé initial stricto sensu.

T.