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#1 Entraide (supérieur) » Comparaison de 2 suites de nombres énormes » 28-06-2022 13:18:53
- Bambs
- Réponses : 1
Bonjour,
J'ai besoin de comparer deux suites $u$ et $v$ avec $u_0=v_0=9$, et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=9^{u_n}$ et $v_{n+1}=v_n!$.
Le souci c'est que à partir de $u_2$ et $v_2$, n'importe quelle calculatrice à ma portée n'arrive plus à calculer tellement les nombres manipulés sont énormes
La seule info qu'on a c'est $v_1=362\;880<u_1=387\;420\;489$
Le seul truc qui me vient à l'idée c'est ça : $v_{n+1}<v_n^{v_n}<truc<u_{n+1}$
Par contre aucune idée de ce que je pourrai mettre dans le troisième membre... Si qqn a un truc qui fonctionne je prends !
Merci d'avance
#2 Re : Entraide (supérieur) » Intégrale entre x et 2x » 27-05-2022 19:06:30
Merci d'avoir répondu! Voilà où j'en suis dans mes recherches
La première inégalité est immédiate en intégrant $f(t)-\frac{1}{t}$ qui est positif
Mais pour la deuxième on a donc
$$\forall t\in [x,2x],\quad f(t)-\frac{1}{t}\leqslant \max_{t\in [x,2x]} f(t)-\min_{t\in [x,2x]}\frac{1}{t}=f(x)-\frac{1}{2x}$$
Ce qui donne en intégrant entre $x$ et $2x$ :
$$F(x)-\ln2\leqslant x\left(f(x)-\frac{1}{2x}\right)=\frac{x}{x-\ln x}-\frac{1}{2}$$
Sauf qu'ici ça coince car pour $x$ grand : $\frac{x}{x-\ln x}-\frac{1}{2}>\frac{\ln 2x}{x-\ln x}$ (la première tend vers $\frac{1}{2}$, la deuxième vers 0)
Sans le $\min_{t\in [x,2x]}$ on aboutit avec une majoration par $\frac{x}{x-\ln x}$ ce qui fonctionne encore moins parce qu'elle tend vers 1
J'ai essayé $\frac{x}{x-\ln x}-1$ et celle-là est effectivement inférieure à $\frac{\ln 2x}{x-\ln x}$ pour tout $x\geqslant 1$, mais d'où sortirait alors le -1... aucune idée
#3 Entraide (supérieur) » Intégrale entre x et 2x » 27-05-2022 14:48:38
- Bambs
- Réponses : 3
Bonjour :)
Je bloque au milieu d'un exercice, on a une fonction [tex]f(x)=\frac{1}{x-\ln x}[/tex] si [tex]x>0[/tex] et [tex]f(0)=0[/tex]
Après avoir montré la continuité on pose [tex]F(x)=\int_x^{2x}f(t)dt[/tex]
Et il faut montrer [tex]\forall x\geqslant 1,\quad 0\leqslant F(x)-\ln 2\leqslant\frac{\ln 2x}{x-\ln x}[/tex]
On nous rappelle aussi que [tex]\ln 2=\int_x^{2x} \frac{dt}{t}[/tex] et que [tex]\forall x>0,\quad x-\ln x\geqslant 1[/tex]
J'ai tenté de passer par [tex]F(x)-\ln 2=\int_x^{2x}\frac{\ln t}{t(t-\ln t)}dt[/tex] et de majorer ça par la valeur en [tex]2x[/tex] sauf que en fait [tex]t\mapsto \frac{\ln t}{t(t-\ln t)}[/tex] n'est pas du tout croissante...
Merci d'avance
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