Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Sur un cours de Costantini sur les evn, sur le site bacamaths.net aujourd'hui disparu, on lisait :

La propriété est fausse si le corps de base n'est pas complet, ce qui n'est pas précisé dans la vidéo de la preuve sur bibmaths.
De plus, je ne vois pas où la complétude serait utilisée. Quelqu'un pourrait m'en dire plus ?

Ensuite, la preuve utilise un lemme :
En dimension finie, une norme  [tex]N[/tex] est une application continue de [tex](E,||\cdot||_\infty)[/tex] sur [tex](\mathbb{R},|\cdot|)[/tex].
La preuve se faisant en utilisant une base de [tex]E[/tex]   puis, à l'aide de l'inégalité triangulaire on montre que [tex]N[/tex] est lipschitzienne.

Ne peut-on pas faire le même raisonnement en dimension infinie ,puisqu'il existe  des bases de E d'après l'axiome du choix ?
Et donc affirmer  la norme est continue quelque soit la dimension ?

Cordialement.

Bonjour à tous,

Faut-il préciser que la fonction utilisée est bijective lors d'un changement de variable ?
Voir un exemple ci-dessous :

Théorème :  Soit $\Phi:[a,b]\rightarrow I$ une application de classe $C^1$ et $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ une application continue sur $I$.

Alors $\displaystyle \int_a^b f\circ\Phi(t)\times\Phi'(t)\mathrm{d}t=\int_{\Phi(a)}^{\Phi(b)}f(t)\mathrm{d}t$

Application : Calcul de $\displaystyle \int_{0}^{\tfrac{25\pi}{4}}\sin t\cos t\mathrm{d}t$

En utilisant $\Phi(t)=\sin t$ qui est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ alors $\Phi'(t)=\cos t$ et $f(t)=t$  on obtient :

$\displaystyle \int_{0}^{{\small \tfrac{25\pi}{4}}}\sin t\cos t\mathrm{d}t=\int_{\sin 0}^{{\small \sin \tfrac{25\pi}{4}}}t\mathrm{d}t=\int_{0}^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}t\mathrm{d}t=\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_0^{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{1}{4}$