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Bonjour, je fais une erreur de calcul dans un changement de variables dans une intégrale, je ne sais pas où.
On se donne [tex]\psi \in C^{\infty }(\mathbb R ^d) [/tex], on souhaite calculer  [tex]\int_{B(r)}^{}\psi(y)dy[/tex], où [tex] B(r)[/tex] désigne la boule de centre l'origine et de rayon r de Rd. Je souhaite faire le changement [tex] y = x + t \omega [/tex], avec [tex]\omega \in S^{d-1} [/tex], la sphère unité, et [tex] t \le 2r [/tex].
J'aimerais écrire [tex] \psi (y) [/tex] = [tex] \psi (f(t,\omega ) [/tex] avec [tex] (f(t,\omega ) = (y_1,...,y_{d-1},y_d)=(x_1+t\omega_1,...,x_{d-1}+t\omega_{d-1},x_d+t(1-\omega_1^{2}...-\omega_{d-1}^2)^{1/2}) [/tex],. Je note par la suite [tex] \omega_d = (1-\omega_1^{2}...-\omega_{d-1}^2)^{1/2}[/tex].  Le problème c'est que pour la dernière coordonnée je peux choisir + ou -, ce n'est pas bijectif... Pourtant tout point [tex] y \in B(r) [/tex] peut être décrit par [tex] x + t \omega [/tex], et réciproquement aussi, donc il doit bien y avoir un difféomorphisme.
Ensuite, si je calcule le Jacobien de ce truc (qui n'est pas un difféomorphisme me semble) je tombe sur [tex]\frac{t^{d-1}}{w_d} [/tex], mais il doit y avoir une erreur de calcul car dans mon exercice je dois tomber sur un truc plus petit ou égal à [tex] t^{d-1}[/tex].
La matrice jacobienne est celle-ci pour le calcul que j'ai effectué, mais à nouveau, c'est sans doute un mauvais changement de variable mais je ne vois pas quoi faire d'autre :
[tex] \begin{pmatrix}
t & 0 & . & . & . & 0 & \omega_1  \\
0& t & 0 & . & . &0 & \omega_2 \\
. & . & t & . & . & 0 & \omega_3 \\
.& . & . &  .&. & . \\
.& . & . &  .&t& .\\
.& . & . &  .& .& t\\
-t\omega_1&  -t\omega_2 & . & & . &  -t\omega_{d-1}\ & \omega_{d}\
\end{pmatrix} [/tex]
Merci d'avance pour votre aide, malgré ce dimanche électoral

Bonjour à tous,
J'aurais besoin d'aide pour un exercice de théorie du signal, je dois calculer la transformée de Fourier au sens des distributions d'un certain signal et je ne suis pas sûr de comprendre ce qu'est ce "sens des distributions", je m'explique : pour parler de distribution, on doit avoir une forme linéaire de S(R) dans R avec S(R) l'espace des fonctions de Schwartz réelles, T qui est la distribution. On prend alors une fonction test dont on calcule l'image par T.  Ensuite, on étend la notion de transformée de Fourier aux distributions, pour calculer des transformées non définies au sens classique (toujours avec une fonction test).
Mais dans la pratique, jamais on ne prend une telle fonction, on se lance dans le calcul sans expliquer (on = dans mon cours), ce que je ne comprends pas.
En particulier, j'aimerais calculer la transformée de [tex]\Delta_{\epsilon }(t)=T_{e}\sum_{n=-\infty }^{+\infty}{\delta _{\epsilon }}(t-nT_{e})[/tex]
Avec [tex]{\delta _{\epsilon }}(t)=rect(\frac{t- \frac{\epsilon}{2}}{\epsilon })[/tex] Avec rect(t), la fonction qui vaut 1 entre -1/2 et 1/2, 0 sinon ; epsilon qu'on fait tendre vers 0 pour obtenir un Dirac, et Te la période d’échantillonnage.
Ce delta minuscule dont la transformée de Fourier est, il me semble,
[tex]e^{-i\pi f\epsilon }*sinc(f\epsilon )[/tex]  avec sinc, la fonction sinus cardinal (sin(pi*x)/pi*x))
Si je calcule la transformée de delta majuscule en faisant juste "rentrer" la transformée dans la somme et en me ramenant à un calcul de la transformée de delta minuscule, est-ce que cela fonctionne ?
On aurait quelque chose du genre
[tex]F(\Delta_{\epsilon }(t))=T_{e}e^{-i\pi f\epsilon }sinc(f\epsilon )\sum_{n=-\infty }^{+\infty}{e^{-2i\pi fnT_{e}}}[/tex]
Mais ce serait une série divergente...

Merci d'avance !