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Bonjour.
Je vous expose mon problème :
Soit I un intervalle non de vide R et non réduit à un point.
On pose a=inf(I) et b=sup(I)
1°) Montrer que si a ∉ I et b ∉ I alors I=]a,b[.

J'ai un doute sur ma démonstration :
Pour montrer que I=]a,b[ on montre que I ⊆ ]a,b[ et ]a,b[ ⊆ I

Soit x un élément quelconque de I
x≤sup(A) et x≥inf(A), pout tout x de I
Par conséquent a<x<b, car a ∉ I et b ∉ I et donc x ∈ ]a, b[ et donc I ⊆ ]a,b[

Soit un élément de ]a,b[
on a a<x<b
a = inf(A), donc pour tout ℇ > 0 il existe t ∈ I tel que a + ℇ > t
en posant ℇ=x-a > 0 on obtient x>t

b = sup(A), donc pour tout ℇ > 0 il existe z ∈ I tel que a - ℇ < z
en posant ℇ=b-x > 0 on obtient x>z
Par conséquent t<x<z et donc x compris entre deux éléments de I appartient à I
et donc ]a,b[ ⊆ I

Est-ce que c'est correcte ? si non, qu'est-ce qui ne va pas ? Pourriez vous me conseiller une autre méthode ?

Merci de votre aide.