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Bonjour à tous,
Je m’adresse à vous pour la compréhension d’un exercice type sur la théorie de mesure.
L’exercice consiste en 8 étapes. 
Le sujet est en pièce jointe

Enoncé

Je vous remercie pour vos interventions.
voici quelques éléments de solution que j’ai pu faire selon ma compréhension du sujet :

a) Il existe p et q dans $\mathbb{N}^*$ tels que $1\leq p<q$ et $x \in f^{-p}(B)\cap f^{-q} (B)$.
Donc $x \in f^{-p}(B)$ et $x \in f^{-q}(B)$. Et donc $f^{p}(B) \in B$ et $f^{q}(B) \in B$.
Posons $y = f^p(x) \in B.$
On a $f^{q-p}(y)=f^{q-p}(f^p(x))$
$f^{q-p}(y)=f^q(x)$ car $1\leq p<q$.
Donc il existe bien  $y = f^p(x) \in B$ tel que $f^{q-p}(y)=f^q(y) \in B$.

b) Il existe k et l dans $\mathbb{N}^*$, avec $1 \leq k <l$ tels que $x \in f^{mk}(Bn) \cap f^{-ml}(Bn)$.
Donc $x \in f^{-nk}(Bn)$ et $x \in f^{-ml}(Bn)$.
Et donc $f^{nk}(x) \in Bn$ et $f^{ml}(x) \in Bn$.
Posons $y = f^{nk}(x) \in Bn$.
On a $f^{n(l-k}(y) = f^{n(l-k)}(f^{nk}(x))$.
$f^{n(l-k)}(y) = f^{nl}(x)$ car $1 \leq nk \leq nl$.
Donc il existe  bien $y=f^{nk}(x) \in Bn$ tel que $f^{n(l-k}(y) = f^{nl}(x) \in Bn$.

c) Suppons que $x \in f^{-nk}(Bn) \cap f^{-nl}(Bn)$.

f) Par additivité de l'union (disjoint), la mesure $\mu(Bn)=0$

Bonjour à tous,
J’aimerais avoir un coup de main sur la résolution d’un sujet autour du théorème de Sylow. J’ai pu faire une partie, mais j’aimerais bien avoir un retour son mon raisonnement si c’est correct et un peu de l’aide pour la suite.
Voici l’énoncé:

Dans tout le problème, G désigne un groupe d’ordre 75 dont l’élément neutre est noté e. On se propose de déterminer à isomorphisme près tous les groupes G possibles.
1. Déterminer, à isomorphisme près, tous les groupes G commutatifs. Préciser dans chaque cas leurs facteurs invariants et leurs diviseurs élémentaires.
2. On ne suppose plus nécessairement G commutatif.
a) Montrer que G possède un sous-groupe distingué K d’ordre 25.
b) Quelles sont les valeurs possibles pour le nombre $n_3$ de sous-groupes d’ordre 3?
c) Que vaut $n_3$ si G n’est pas commutatif? En déduire qu’alors G aurait exactement 50 éléments d’odre 3.
3. On suppose dans cette question que le groupe K précédent d’odre 25 est cyclique.
Soit y $\in$ K tel que K =<y> =$\{e,y,y^2,...,y^{24}\}.$
Soit x un élément de G d’odre 3. On pose H =<x>=$\{e,x,x^2 \}.$
Montrer qu’il existe i $\in \mathbb{N}$ tel que $x.y.x^{-1}=y^i$, et que $i^3$ est congru à 1 modulo 25.
4. On suppose jusqu’a La question5 incluse que K = $\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}X \mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}$, que G n’est pas commutatif et que x est un élément de G d’ordre 3.
a) Quel est l’ordre d’un élément de K autre que e ? Combien y a t-il d’éléments d’ordre 5 dans G ?
b) On suppose qu’il existe y $\neq$ e dans K tel que $x.y.x^{-1} =y$. Quel est l’ordre de x.y?
Compter les éléments de G d’ordre 1,3 et 5 et en déduire une contradiction.
5. Soit $y \neq e$ dans K et z =$x.y.x^{-1}$.
a) Montrer que K est le produit direct de ses sous-groupes <y> et <z>.
b) Montrer qu’il existe l et m entiers tels que: $x.z.x^{-1}=y^l.z^m$ avec 1 $\leq l \leq 4, 0 \leq m \leq 4$.
c) Calculer $x^3.y.x^{-3}$, et montrer que nécessairement l = m = 4 congru (-1) modulo 5.
d) En considérant le quotient G/K, montrer que: G={$x^\alpha.y^\beta.z^\gamma |0 \leq \alpha \leq 2, 0 \leq \beta \leq 4, 0 \leq \gamma \leq 4$}.

Résolution:

1. Soit G un groupe commutatif d’ordre 75. Nous avons : 75 = $5^2.3$. On sait d’après le théorème de Sylow qu’il existe (au moins) un sous groupe H d’ordre 3 et (au moins) un sous groupe K d’ordre $5^2$. Comme G est commutatif et que PGCD($5^2,3$)=1, on sait que le produit HK est direct, d’ordre 75, donc que G = HK.
Comme il y a a isomorphe près 1 groupe commutatif d’ordre 3 et 2 groupes commutatifs  d’ordre 25, on en déduit qu’il y’aura à isomorphe près 2 groupes commutatifs d’ordre 75. Ces groupes seront toujours à isomorphe près:
. $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ x $\mathbb{Z}/25\mathbb{Z} = \mathbb{Z}/75\mathbb{Z}$, son unique facteur invariant est 75, ses diviseurs élémentaires sont 3 et $5^2$.
. $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$X$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$X$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$X$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, ses facteurs invariants sont 15 et 5, ses diviseurs élémentaires sont 3, 5 et 5.
2. a) Soit K un sous groupe distingué de G. On rappelle que si $\alpha$ et $\beta$ sont 2 entiers premiers alors $\mathbb{Z}/(\alpha \beta)\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/\alpha\mathbb{Z}$X$\mathbb{Z}/\beta \mathbb{Z}$ on a donc : $\mathbb{Z}/75\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$X$\mathbb{Z}/25\mathbb{Z}.$
Donc G possède bien un sous groupe distingué d'ordre 25.

Merci pour vos retours.
Cordialement

Bonjour à tous,
J’aimerais avoir votre aide pour la résolution de ma fiche exo sur la notion de Z/nZ. Certaines questions sont des énoncés des théorèmes (reformuler sous forme des questions) mais que je ne possède pas malheureusement des démonstrations. J’ai pu faire la première partie en cherchant à être le plus rigoureux possible mais je ne sais pas si dans ma résolution y’a des erreurs de raisonnement. Je serai très reconnaissant si vous jetiez un coup d’oeil sur mon travail et m’aidiez sur la résolution du reste.

Bien cordialement,

Partie I)
1. Commençons par supposer que Z/pZ est un corps, cela implique alors que Z/pZ est intègre. Supposons p non premier, il existe q_1,q_2 € N-{0,1} tel que p =q_1.q_2.p=0 donc q_1.q_2=0 avec q_1,q_2 €[2,p-1], ce qui contredit le fait que Z/pZ est intègre. p est donc un nombre premier. Supposons maintenant p premier. Soit a €[1,p-1] alors a /\ p = 1 et donc a est inversible dans Z/pZ. Tout élément non nul de Z/pZ est donc inversible; donc Z/pZ est un corps. Pour la reciproque, et pour etre complet, on invoque le theoreme de Bezout :  il existe des entiers relatifs a et b tels que ap + bn =1. Du coup, modulo p, on obtient que [n] (la classe de n mod p) est inversible d'inverse [b).

2. Pour montrer que pour tout x€(Z/pZ)*, on a x^(p-1) =1. il suffit simplement de remarquer que le groupe multiplicatif Z/pZ* a (p-1) éléments, puisque toute classe x non nulle est celle d’un entier premier avec p. Le théorème de Lagrange (dans un groupe G d’ordre n tout élément x vérifie x^n = e) donné donc légalité cherchée.
3. Considérons le morphisme : (Z/pZ)*->(Z/pZ)*  Z->Z^2 dont l’image est l’ensemble des carrés non nuls et le noyau est {1,-1} puisque Z/pZ est integre c’est à dire :  (z-1)(z+1) =0 mod p implique z-1 =0 mod p ou z+1=0 mod p. 

3.1) Si (-1) est un carre alors on peut ecrire (-1)= a^2 pour un element a et calculer de deux manieres differentes a^{p-1}.     

3.2 )En partant du fait que p = 4q +1, avec q entier au moins 1, il faut compter les solutions de x^{p-1}=1 de deux manieres differentes, en utilisant le raisonnement précédent; On en déduit que le nombre de carrés non nuls est (p-1)/2. Considérons maintenant le morphisme de groupes multiplicatifs (Z/pZ)*->(Z/pZ)*           Z->Z^(p-1)/2 on suppose que p n’est pas égal à 2; comme pour tout élément x non nul de Z/pZ on a x^(p-1)=1, on voit que l’ensemble des carrés est contenu dans le noyau. Cependant le noyau est formé des racines d’équation: x^(p-1)/2 - 1 = 0. On en déduit qu’un polynôme non constant de degré n sur un corps commutatifs (c’est le cas de Z/pZ) a au plus n racines.   D’où la conclusion.