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#1 Re : Entraide (supérieur) » Nombre complexe - Transformation de Cayley - exercice 4 » 23-11-2019 18:44:29
Bonjour,
pour le numérateur en distribuant par $e^{i\frac{θ+θ′}{2}}$ :
$e^{i\frac{θ+θ′}{2}}*e^{i\frac{θ-θ′}{2}}=e^{i\frac{θ+θ′+θ-θ′}{2}}=e^{i\frac{2θ}{2}}=e^{iθ}$ et $e^{i\frac{θ+θ′}{2}}*e^{-i\frac{θ-θ'}{2}}=e^{iθ'}$ sur le même modèle.et pour le dénominateur toujours en distribuant par $e^{i\frac{θ+θ′}{2}}$ :
$e^{+i\frac{θ+θ′}{2}}*e^{-i\frac{θ+θ′}{2}}=e^{+i\frac{θ+θ′-θ-θ′}{2}}=e^{i0}=1$, (attention aux signes dans l'avant dernière exp), d'où ce 1 que tu retrouves au dénominateur, et $e^{+i\frac{θ+θ′}{2}}*e^{+i\frac{θ+θ′}{2}}=e^{+i\frac{θ+θ′+θ+θ′}{2}}=e^{+i\frac{2θ+2θ′}{2}}=e^{+i(θ+θ′)}$C'est une simple factorisation au numérateur et au dénominateur. Cette méthode consistant à passer par l'angle moitié est classique.
$e^{i(a+b)}=e^{ia}*e^{ib}$ pour tous $a,b$ réels ou mêmes complexes.
J'essaie de comprendre en vain ce que tu as trouvé...
Je suis confus, je viens de me rendre compte de mon erreur. Je n'avais pas cherché à factoriser au dénominateur et au numérateur par $e^{i\frac{θ+θ′}{2}}$ mais simplement à multiplier au numérateur et au dénominateur par $e^{i\frac{θ+θ′}{2}}$ , évidemment je ne tombais pas sur ce que je voulais.
Je vous remercie beaucoup. Bonne soirée.
(Je m'interroge également, était il possible de trouver cette factorisation sans indication ?)
#2 Entraide (supérieur) » Nombre complexe - Transformation de Cayley - exercice 4 » 23-11-2019 13:39:37
- Koupka
- Réponses : 3
Bonjour à tous,
Je m'interroge au sujet de l'exercice 4 de cette fiche d'exercice : http://www.bibmath.net/ressources/index … &type=fexo
Comment peut on trouver, en factorisant $\frac{e^{{iθ}}+e^{iθ′}}{1+e^{i(θ+θ′)}}$ par $e^{i\frac{θ+θ′}{2}}$ au numérateur et au dénominateur l'expression suivante : [tex]\frac{e^{i(\frac{θ−θ'}{2}}+e^{-i\frac{θ−θ'}{2}}}{e^{i\frac{θ+θ′}{2}}+e^{-i\frac{θ+θ′}{2}}}[/tex] ?
Ne devrait on pas d'abord trouver : $\frac{e^{i\frac{3θ+θ'}{2}}+e^{i\frac{θ+3θ'}{2}}}{e^{i\frac{θ+θ′}{2}}+e^{-i\frac{3θ+3θ′}{2}}}$ ?
Et dans ce cas là, comment passe-t-on de $e^{i\frac{3θ+θ'}{2}}$ à $e^{i\frac{θ−θ'}{2}}$ ? De même pour de $e^{i\frac{θ+3θ'}{2}}$ à $e^{-i\frac{θ−θ'}{2}}$ ainsi que de $e^{i\frac{3θ+3θ′}{2}}$ à $e^{-i\frac{θ+θ'}{2}}$ ?
Je conçois qu'on cherche à avoir une expression de la forme e(i α) + e(- i α) afin d'appliquer les formules d'Euler et ainsi résoudre l'exercice, mais cette factorisation me pose problème.
Merci pour vos futures réponses, bonne journée.
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