Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Je reviens vers vous car il reste une dernière question ou je trouve une truc a rallonge.

On pose ensuite :

$A=\sqrt[3](\alpha)+\sqrt[3](\beta)+\sqrt[3](\delta)$
$B=\sqrt[3](\alpha\beta)+\sqrt[3](\beta\delta)+\sqrt[3](\alpha\delta)$
$C=\sqrt[3](\alpha\beta\delta)$

Montrer que $A^3=3AB-4$ et $B^3=3AB-5$ a cette question je n'ai pas eu de problème mais plutot celle-ci:

En posant u=AB, montrer que $(u-3)^3+7=0$ et en déduire la valeur de u

J'ai commencer par faire $(AB-3)^3+7=0 \Leftrightarrow (AB)^3-9(AB)^2+27AB-2=0$

On nous donne $A^3$ et $B^3$ mais c'est pour $A^2$ et $B^2$ ou je trouve des trucs longs.

Pour $A^2=(\sqrt[3](\alpha)+ \sqrt[3](\beta)+\sqrt[3](\delta))^2  \Leftrightarrow A^2=\sqrt[3](\alpha)^2+\sqrt[3](\beta)^2+\sqrt[3](\delta)^2-4$ et pour
$B^2=(\sqrt[3](\alpha\beta)+\sqrt[3](\beta\delta)+\sqrt[3](\alpha\delta))^2$ $\Leftrightarrow$

$B^2=(\sqrt[3](\alpha\beta)^2+\sqrt[3](\beta\delta)^2+\sqrt[3](\alpha\delta)^2+2(\sqrt[3](\alpha\delta)\sqrt[3](\beta)^2+\sqrt[3](\beta\delta)\sqrt[3](\alpha)^2+ \sqrt[3](\beta\alpha)\sqrt[3](\delta)^2)$

Je ne sais pas si c'est correct mais sa risque de mal tenir sur une copie double.

J'ai bien compris que notre polynôme de degré 3 c'est $P(t)=t^3+t^2-2t-1$ et que les racines sont $t_1=\alpha=x_1,t_2=\beta=x_2$ et $t_4=\delta=x_4$ dans notre $a=1, b=1, c=-2 et d=-1$

Donc si je remplace tout sa dans le système cela va me donner :

\begin{cases}  & \text{  }  \alpha + \beta + \delta = -1 \\   & \text{ }   \alpha\beta+\beta\delta+\alpha\delta = -2 \\   & \text{ } \alpha\beta\delta = 1\end{cases}

Donc la valeur de $\alpha+\beta+\delta= -2\cos(\frac{2\pi}{7})- 2\cos(\frac{4\pi}{7})-2\cos(\frac{8\pi}{7})$  faut que je développe $-2\cos(\frac{2\pi}{7})- 2\cos(\frac{4\pi}{7})-2\cos(\frac{8\pi}{7})$   ?

Notre professeur nous a envoyé un indice qui est le suivant :

Soit P(x)= $ax^3+bx^2+cx+d$
Soient $x_1,x_2,x_3$ les racines du polynômes P
Alors :

$\begin{cases}
& \text{  }  x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a} \\
& \text{ }   x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 = \frac{c}{a} \\
& \text{ } x_1x_2x_3 = \frac{-d}{a}
\end{cases}$

Ce que j'ai fais aussi :

$(t-\alpha)(t-\beta)(t-\delta)= t^3-(\alpha+\beta+\delta)^2+(\alpha\beta +\beta\delta +\alpha\delta)t - \alpha\beta\delta$

Nous nos racines sont $t_1,t_2$ et $t_4$
Par identification a=1, $b=(\alpha+\beta+\delta)$, $c=(\alpha\beta +\beta\delta +\alpha\delta)$ et $d=(\alpha\beta\delta)$

si je remplace sa va me donner :

$\begin{cases}
& \text{ }  t_1 + t_2 + t_4 = -(\alpha+\beta+\delta) \\
& \text{ }   t_1t_2+t_2t_4+t_1t_4 = \alpha\beta +\beta\delta +\alpha\delta\\
& \text{ } t_1t_2t_3 = -\alpha\beta\delta
\end{cases}$

Après je vois pas trop ce qu'il faut faire.

Bonsoir,

Non on a pas fais ces calculs c'est la suite de mon sujet.

Je n'ai pas compris vous voulez dire quoi par remplacer par des puissance de z ?
Par $z^3, z^4$ ?

J'arrive pas a tout comprendre, pourquoi vous posez $t_k=z_k+\frac {1}{z_k}=2cos(\theta_k)$ normalement c'est pas plutôt $t^k=z^k+\frac {1}{z^k}=2cos(\theta^k)$ qu'on devrait poser ou alors je dit une connerie.

Ce qui me dérange aussi c'est l’écriture $t_k$, $z_k$ et je vois pas comment on peut avoir 6 racines dans $E_2$.

Je suis me suis un peut embrouillé ^^'

$0\leq k \leq6$

Mais quand vous dite de revenir a t c'est de remplacer dans t, $t^2$ et $t^3$ les z par $e^\frac{2ik\pi}{7}$

Bonsoir,

Je ne vois pas comment vous êtes passer de la 1er ligne a 2eme ligne comment vous avez mit le 2 en facteur de (a+b+c)

$(a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2a(b+c) + 2bc) = (a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 2(a+b+c)(a(b+c)+2bc)$