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Bonsoir,
J'ai posé la question à un prof de Fac manipulant assez régulièrement l'holomorphie et voici sa réponse :

"Bonsoir.

           Voici un sketch de construction (dont je n'ai pas vérifié les détails) :

1. Prenez d'abord pour chaque n une fonction f_n analytique sur un voisinage de la réunion du singleton {0}, du segment réel [1/n,1] et de l'ensemble des z de module <=1 et de distance à R_+ supérieure ou égale à 1/n, nulle sur les voisinages du segment et de la portion de disque et valant 1 en 0. Cela ne présente pas de difficulté puisque les voisinages des trois morceaux peuvent être choisis distincts.

2. Ensuite, puisque le complémentaire de l'ensemble compact ci-dessus est connexe, par le théorème de Runge, on peut se donner des polynômes p_n à distance au plus 1/n de f_n sur le compact prescrit.

3. Alors les p_n sont analytiques sur le disque ouvert et on vérifie facilement que pour z dans le disque p_n(z) converge vers 0 si z n'est pas nul, et vers 1 si z=0."

       
Bonne soirée !