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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Kibi
- 16-05-2022 16:59:55
On a $a_{0} = a_{1} = 0$. Le DSE de $\frac{f(z)}{z^{2}} = \sum_{k \geq 0} \frac{f^{k+2}(0)}{(k+2)!}z^{k}$, comment appliquer le principe du maximum à cette fonction ? De plus, cette dernière est définie sur D(0,3), ca ne gene pas pour la suite du raisonnement ?
- Michel Coste
- 15-05-2022 09:52:19
Soit [tex]f(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots[/tex] le DSE de [tex]f[/tex] à l'origine.
Que disent les conditions [tex]f(0)=f'(0)=0[/tex] sur les coefficients [tex]a_i[/tex] ?
Vois-tu alors que [tex]f(z)/z^2[/tex] se prolonge de façon holomorphe à l'origine ? Quel est le DSE à l'origine de [tex]f(z)/z^2[/tex] ?
- Kibi
- 13-05-2022 23:49:46
Le dse de f en 0 est $f(z) = \sum_{k \geq 0}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}z^{k}$. Par contre j'ai plus de mal pour celui de g.
Pour la suite, je suis le raisonnement mais dans mon cours g est à valeurs dans $\mathbb{D}$ du coup je suis un peu perdu étant donné que je maitrise mal le cours. Vous pourriez m'expliquer comment faire svp ?
- Michel Coste
- 13-05-2022 15:59:13
Considère le DSE de [tex]f[/tex] en 0. Quelle tête a-t-il ? Ne vois-tu pas alors le DSE de [tex]g[/tex] en 0.
Après, tu peux appliquer le principe du maximum à [tex]g[/tex] (de la même façon qu'on applique le principe du maximum à [tex]\dfrac{h(z)}{z}[/tex] quand [tex]h(0)=0[/tex] pour démontrer le lemme de Schwarz)
- Kibi
- 13-05-2022 13:21:31
Bonjour Michel,
En notant $g(z) = \frac{f(z)}{z^{2}}$ je trouve que $g(0) = lim_{z \rightarrow 0}\frac{\frac{f(z)}{z} - f'(0)}{z - 0}= f''(0)$, comment prolonger en 0 ?
Est ce que qu'il faut appliquer le lemme de Schwarz à la fonction g ? Dans ce cas on fait un changement de variable pour avoir une fonction définie sur le disque unité ?
- Michel Coste
- 12-05-2022 18:02:40
Puisque [tex]f(0)=f'(0)=0[/tex], la fonction [tex]z\mapsto \dfrac{f(z)}{z^2}[/tex] se prolonge holomorphiquement en [tex]0[/tex]. Pourquoi faudrait-il supposer [tex]f''(0)=0[/tex] ?
Que faire avec cette fonction holomorphe ? Je laisse Kibi y réfléchir.
- Physcitech
- 12-05-2022 13:34:09
Bonjour,
Puisque f(0) = f'(0) = 0 est ce qu'il ne vaut pas mieux considérer $g(z) = \frac{f(z)}{z}$ ? Sinon il faudrait également supposer $f''(0)=0$.
Que faire ensuite avec cette fonction ?
- Michel Coste
- 12-05-2022 12:50:00
Bonjour,
Puisque [tex]f(0)=f'(0)=0[/tex], on est poussé à considérer [tex]g(z)=\dfrac{f(z)}{z^2}[/tex].
Et si l'on veut une fonction définie sur le disque unité, [tex]z\mapsto g(3z)[/tex] fait l'affaire.
- Kibi
- 12-05-2022 11:00:42
Et dans ce cas $|f(z)| < 1$, je vois merci !
Par contre pour la question 2, ca me semblait évident mais maintenant que je cherche je vois que non. Je voulais trouver une fonction particulière telle que f(0) = f'(0) = 0 et telle que f(1) = 1. Je pensais à $f(z) = z²$ mais elle n'est pas à valeurs dans $\mathbb{D}(0,1)$. Comment faire ?
- Fred
- 12-05-2022 06:45:47
Re-
Soit $z_0\in \mathbb D(0,3)$. On sait que $|f(z)|\leq 1$ pour tout $z\in \mathbb D(0,3)$. Si tu supposes que $|f(z_0)|=1$, alors $|f|$ admet un maximum local en $z_0$ donc, par le principe du maximum, $f$ est constante et en particulier $|f(z)|=1$ pour tout $z\in\mathbb D(0,3)$. C'est impossible puisque $f(0)=0$.
F.
- Kibi
- 11-05-2022 19:06:46
Bonjour !
J'ai beaucoup de mal avec le principe du maximum, pourriez vous m'aiguiller svp ? Ca sera l'occasion de me l'approprier
- Fred
- 11-05-2022 11:05:33
Bonjour,
Et si tu utilisais tout simplement le principe du maximum????
F.
- Kibi
- 11-05-2022 09:51:58
Bonjour à tous, j'espère que vous allez bien ! Cet exercice me cause problème
Soit $F$ la famille des fonctions holomorphes $f : \mathbb{D}(0,3) \rightarrow \bar{\mathbb{D}(0,1}$ telles que f(0) = f'(0) = 0
1. Montrer que $|f(z)| < 1$ pour tout $z \in \mathbb{D}(0,3)$ et $f \in F$.
2. Trouver $max_{f \in F}|f(1)|$.
Pour la deux il suffit de prendre un cas particulier, on trouvera que la max sera plus grand que 1 et d'après la Q1 plus petit que 1 donc le max vaut 1.
Pour la question 1 je voulais utiliser le lemme de Schwarz mais je bloque car on ne se trouve pas sur le disque unité, comment passer outre ce problème ?
Merci d'avance !