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Fred · 15-04-2022 06:27:17

En fait, tu ne peux pas parler de LA projection orthogonale puisque ton exemple te montre qu'il n'y a pas unicité.
On ne peut parler de la projection orthogonale que sur un convexe, et en général $C_1\cup C_2$ n'est pas convexe.
La meilleure chose que je vois, c'est de calculer la projection sur $C_1$, celle sur $C_2$, puis de choisir celle qui minimise la distance.

aimes · 14-04-2022 22:07:55

Oui t'as raison, j'ai mal formulé ma question.
En effet c'est pas une seule projection qu'on cherche, mais plutôt la ou les projections sur cet ensemble en fonction de [tex]\alpha[/tex], [tex]\beta[/tex], u et v.

Je pense de faire mieux à reporter le problème en entier.
C'est un problème d'optimisation qui demande de minimiser [tex] \|\vec x- \bar x\|^2 [/tex] avec [tex]x \in C_1 \cup C_2[/tex].
Avec u et v deux vecteurs de norme 1 et [tex]\alpha[/tex],[tex]\beta[/tex][tex]\in {R}[/tex]
On connait déjà la solution de ce problème càd la projection orthogonale de [tex]\bar x[/tex] sur [tex]C_1 \cup C_2[/tex] et c'est ca que je n'arrive pas à calculer. Je sais pas comment obtenir ce résultat avec des contraintes d'inégalité.

Je m'excuse de n'avoir pas bien posé le problème du début. J'espère que c'est plus claire comme ça.

Fred · 14-04-2022 20:20:05

Bonjour,

Ce problème est mal posé. Par exemple comment projettes-tu l'origine sur $C_1\cup C_2$, ou $C_1=\{(x,y)\in\mathbb R^2: x\leq -1\}$ et
$C_2=\{(x,y)\in\mathbb R^2:\ x\geq 1\}$? Les deux points $(1,0)$ et $(-1,0)$ sont tous les deux de bons candidats.

F.

aimes · 14-04-2022 17:23:05

Bonjour,

J'ai deux demi-espace affines [tex]C1=\{\ x\in {R^n} \ |\ \langle u,x\rangle\leq\alpha\ \}[/tex] et [tex] C2=\{\ x\in {R^n} \ |\ \langle v,x\rangle\leq\beta\ \} [/tex]. Comment calculer la projection d'un vecteur [tex]x\in {R^n}[/tex] sur [tex]C1\cup C2[/tex] ?

Merci en avance

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