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Re,

Le logarithme et l'exponentielle sont liés elles sont réciproques l'une de l'autre :
$\ln(e^x)=x$
$e^{\ln(x)}=x$
$e=e^1\approx 2,7182818284590452353602874713527...$  et $\ln(e)= 1$
N-B : existe aussi notamment le logarithme décimal : il est tel que $\log(10)=1$

Attention le logarithme n'est défini que sur $]0\,;\,+\infty[$ :
Il a les propriétés suivantes : 
_  $\ln(a\times b)=\ln (a)+\ln(b)$ 
   D'où on déduit :
   $\ln(a^n)=n\times\ln(a)$
   En effet
   $\ln(a^n)=\ln(\underbrace{a\times a \times \cdots\times a}_{n\; facteurs\; a})=\underbrace{\ln(a)+\ln(a)+\cdots+\ln(a)}_{n\;termes\; égaux\; à \;\ln(a)}=n\times \ln(a)$

- Et évidemment $\ln\left(\dfrac a b\right)= \ln(a) - \ln(b)$

Le logarithme décimal possède aussi ces mêmes propriétés.
Si je demande : pour quelle puissance entière n, le nombre $2^n$ est-il supérieur ou égal à 1 000 000, je cherche n tel que $2^n\geqslant 1\,000\,000$ ?
On peut tâtonner, certes, mais le logarithme donne directement la réponse...
Le logarithme est une fonction croissante sur $]0\,;\,+\infty[$,
donc :
$2^n\geqslant 1\,000\,000 \Longleftrightarrow \ln(2^n)\geqslant 1\,000\,000$
$\Longleftrightarrow$
$n\ln(2)\geqslant \ln(1\,000\,000)$
$\Longleftrightarrow$
$n\geqslant \dfrac{\ln(1\,000\,000)}{\ln(2)}$
Et le calculatrice me donne :
$n \geqslant 19.931568569324174...$
Et donc la réponse est 20....

Vérification
$2^{19}=524\,288 <1\,000\,000$ mais  $2^{20}=1\,048\,576$
J'ai répondu hier à une question où la réponse était aussi basée sur l'emploi du logarithme :
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=14690

Voilà un aperçu rapide de l'utilisation du logarithme.

@+

Bonsoir,

Je ne disconviens pas de la clarté de la question 2, je l'ai bien sûr résolue tout comme toi, sans l'offrir au demandeur...
Simplement, j'ai dit que si j'ai à tracer un tableau de variation complet de la fonction P définie sur [0 ;+oo[, tout naturellement, j'y loge déjà P(0)...
Et je ne vois pas, dans ce cas, pourquoi on redemande dans 2a) cette valeur...

Sauf que le demandeur a écrit dans son énoncé :

Et cela m'a interpellé :
Je fais pas mal de fautes de frappe mais taper / au lieu de P m'a paru gros (sauf peut-être avec un mini clavier, genre Mobile)...

Je me suis donc demandé ce que venait faire là ce / et je me suis dit, que "emporté par son élan", notre ami avait peut-être oublié P et 200 en voulant taper P/200...
Mais, même dans ce cas c'est gros !

Donc, je me suis refusé à tirer de conclusion hâtive, et j'attendais une réponse de Dupont...

@+

Bonjour,

Toi, qu'as-tu déjà fait ?
Si tu bloques,  dis-nous ce qui te bloques et pourquoi pour qu'on puisses t'aider efficacement...

Je ne dois avoir la même compréhension du français que l'auteur de l'exercice.
En effet, je lis :
1)  Donner le tableau de variations complet de la fonction / sur [0; +infini[
     Au passage, la fonction / c'est bien a fonction P ? Ou alors P/200 ?
      Si oui, je trouve curieuse la première partie de la question 2a) PréciserP (0)

Pour moi, un tableau de variation complet sur [0 ; +oo[ comprend forcément les limites éventuelles, les valeurs particulières (extremums) éventuels. Donc Si / c'est P alors P(0) est déjà dans le tableau, sauf si / c'est P/200...

Quoi qu'il en soit, la variation globale de $P(t)= 200e^{0,3t}$ est la même que celle de $e^x$...

@+