Forum de mathématiques - Bibm@th.net

C'est [tex]|S|\le a_1[/tex]. Mais n'oublie pas que la somme donnant ton reste commence à n et non à 1.

Re-

  Pour la première question, cela ne change rien. Pour la deuxième, on étudie le reste que l'on écrit sous la forme suivante :
[tex]R_n(x)=x\sum_{k\geq n}\frac{(-1)^k}{k^2+x^2}[/tex]
L'intérêt de sortir de le x de la somme, c'est que la série à l'intérieur vérifie le critère des séries alternées.
Ainsi, on a, pour tout x de [tex]\mathbb R_+[/tex],
[tex]|R_n(x)|\leq x\times \frac{1}{n^2+x^2}[/tex]
Tu étudies cette dernière fonction qui admet un maximum en n, et tu trouves :
[tex]|R_n(x)|\leq\frac{n}{n^2+n^2}\leq\frac{1}{2n}.[/tex]

La convergence est bien uniforme.

Je te rappelle que si [tex](a_n)[/tex] est une suite positive décroissant vers 0, alors dans le critère des séries alternées, on dit non seulement que [tex]S=\sum_{n\geq 1}(-1)^n a_n[/tex] est convergente, mais de plus,
[tex]|S|\leq a_1[/tex]

Fred.

Bonjour,

1. Convergence simple.

  Tu raisonnes à x fixé. Tu peux donc appliquer le critère des séries alternées à [tex]\sum_{n\geq 1}u_n(x)[/tex] puisqu'elle vérifie ce critère dès que [tex]n\geq x[/tex].
Tu peux aussi prouver la convergence absolue de [tex]\sum_{n\geq 1}u_n(x)[/tex] qui entraîne la convergence de  [tex]\sum_{n\geq 1}u_n(x)[/tex].
Lorsqu'on étudie la convergence simple, il ne faut pas se laisser embêter par le "x". C'est simplement un paramètre, mais tout se passe, à x fixé, comme si on étudiait une série numérique.

2. Convergence uniforme

La convergence est normale, non? Pour tout x de [tex]\mathbb R_+[/tex], on a :
[tex]|u_n(x)|\leq \frac{1}{x^2+n^2}\leq \frac{1}{n^2}[/tex]
et le membre de droite est le terme général d'une série convergente.

Mais je suppose que tu as fait une erreur d'énoncé car [tex]x \mapsto |u_n(x)|[/tex] semble décroissante sur [tex]\mathbb R_+[/tex] tout entier.

Fred.