Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Si aucun des deux sens n'est clair pour toi je propose qu'on reprenne du début.

Etape 1 : on pose bien le problème.
On a l'équation différentielle $y'(t)=f(y(t))$ avec $y(t_0)=y_0\neq 0$ où $f$ est la fonction telle que $f : x \mapsto \frac{1}{x}$
Pour appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz on veut déjà que la fonction $f$ soit définie sur un intervalle $U$ qui contient notre $y_0$, on choisit $U=]0,\infty[$ si $y_0>0$ et sinon $U=]-\infty,0[$. De plus, la fonction $f$ est bien $\mathcal{C}^1$ sur $U$, on va pouvoir appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz.

Etape 2 : on applique Cauchy-Lipschitz.
On sait que notre problème admet une maximale $(y,I_{max})$ où $I_{max}$ est un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ contenant $t_0$ et où $y : I_{max} \to \mathbb{R}$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ qui est solution du problème.
Cette solution est maximal au sens ou si $(\tilde{y},J)$ est une autre solution de notre problème (avec la même condition initiale) et où $J$ est un autre intervalle, alors $J\subset I_{max}$ et de plus $y$ et $\tilde{y}$ coincident sur $J$.

Etape 3 : on essaye de trouver $I_{max}$ et $y$.

Etape 3.1 : on cherche à montrer que $I_{max}$ n'est "pas trop grand".
Prenons n'importe quel $t\in I_{max}$, alors puisque $I_{max}$ est un intervalle (c'est crucial !) alors $[t_0,t]\subset I_{max}$ (au lieu de $[t_0,t]$ c'est peut-être $[t,t_0]$ si $t<t_0$ mais ça n'a pas d'impotance).
En particulier si $s$ est entre $t$ et $t_0$ on a
$y(s)y'(s)=1$
et donc $\int_{t_0}^t y(s)y'(s)ds = \int_{t_0}^tds = t-t_0$
Ainsi $\frac{y(t)^2}{2} - \frac{y_0^2}{2}=t-t_0$.
Ainsi $t=t_0-\frac{y_0^2}{2}+\frac{y(t)^2}{2}$
Or, $y(t)y'(t)=1$ donc $y(t)\neq 0$ et donc $y(t)^2 >0$
Finalement $t>t_0-\frac{y_0^2}{2}$.
On a montré que si $t\in I_{max}$ est quelconque alors forcément $t>t_0-\frac{y_0^2}{2}$.
Ceci montre l'inclusion $I_{max}\subset ]t_0-\frac{y_0^2}{2}, +\infty[$.

Etape 3.2 On montre que $I_{max}$ n'est pas trop petit.
On pose $J=]t_0-\frac{y_0^2}{2}, +\infty[$ et $\tilde{y}(t) = \text{sgn}(y_0)\sqrt{y_0^2+2(t-t_0)}$.
Alors on vérifie que $\tilde{y}$ est bien définie et $\mathcal{C}^1$ sur $J$, on vérifie que $\tilde{y}(t_0)=y_0$ et que $\tilde{y}$ est solution de l'équation différentielle sur $J$. Ceci montre que $(\tilde{y},J)$ est une solution de notre problème et donc que $J\subset I_{max}$ (par ce qui a été dit à l'étape 2).

Etape 4 : conclusion
On a montré par double inclusion que $I_{max}=]t_0-\frac{y_0^2}{2}, +\infty[$ et on a aussi montré que la solution maximale sur cette intervalle est donnée par $y(t) = \text{sgn}(y_0)\sqrt{y_0^2+2(t-t_0)}$.

Quelles étapes ne sont pas claires ?

Bonjour,

Non. Je ne vois pas du tout pourquoi l'intervalle $I_{max}$ ne peut pas être plus grand que $]t_0-y_0^2/2,\infty[$ ni plus petit que $]t_0-y_0^2/2,\infty[$. Pouvez vous m'expliquez pourquoi s'il vous plaît ? C'est trop difficile pour moi cet exercice.

Merci infiniment pour votre aide.

Bonsoir,
Vois tu pourquoi l'intervalle $I_{max}$ ne peut pas être plus grand que $]t_0-y_0^2/2,\infty[$ ?
Sinon, comme l'a dit Zebulor, n'oublie pas que pour $t\in I_{max}$ le poly a montré que $y(t)^2-y_0^2=2t-2t_0$ (et aussi que $y(t)^2>0$).
Vois tu pourquoi l'intervalle $I_{max}$ ne peut pas être plus petit que $]t_0-y_0^2/2,\infty[$ ?
Sinon, le poly n'a-t-il pas donné une solution sur cet intervalle ?

Au passage : il y a une différence entre "le plus grand ouvert" et "le plus grand intervalle ouvert". Concernant $I_{max}$ il désigne usuellement le plus grand intervalle ouvert.
Bonne soirée

bonsoir Peroquet,
hmmm d'accord...  d'autres plus compétents que moi sur le sujet te répondront en attendant peut être que ce lien peut t'inspirer :

https://www.bibmath.net/dico/index.php? … ntsol.html

Bonjour,
$y^2(t)$ est nécessairement positif, d'où la contrainte sur la variable $t$

Bonsoir,

Sur le lien suivant, https://arege.pages.math.cnrs.fr/files/poly_2M310.pdf , page, [tex]84[/tex], comment réussit-t-on à trouver que, l'intervalle maximal est de la forme, [tex] J = ] t_0 - \dfrac{y_{0}^{2}}{2} , + \infty [ [/tex] ?

Merci d'avance.