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bridgslam
09-07-2023 09:26:08

Re-bonjour,

Sinon une option exploitant la finitude d'emblée peut être ceci:

Soit F l'ensemble des ouverts contenant a, dont le cardinal (fini) est minimum, disons C.
Soit V quelconque  dans F, on a donc Card V = C .
Si b est distinct de a, il existe un ouvert U contenant a mais pas b, à cause de la séparabilité.
Alors V$\cap$ U , ouvert inclus dans V contenant a et de cardinal au plus C est donc égal à V, car C est minimum.
On a donc montré que b n'appartient pas à V, pour tout V dans F, et b quelconque distinct de a.

Ainsi F = { {a} }.

A.

bridgslam
09-07-2023 09:04:53

Bonjour,

Et merci pour ta réponse.
Je n'ai pas utilisé AC, je me demandais seulement si en l'utilisant, la preuve aurait été plus directe encore.
Sinon, dans ce que j'ai écrit, j'ai finalement exposé le fait que tu utilises: l'intersection des ouverts contenant a se réduit à {a}.
Si on le prend pour acquis, c'est effectivement plus direct.

Bonne journée.

Alain

Glozi
08-07-2023 22:15:27

Bonsoir,
Ça m'a l'air de tenir la route, où penses-tu avoir utiliser l'axiome du choix ? (car je ne vois pas).
Sinon preuve peut-être un chouillat plus directe : $X$ séparé implique que l’intersection de tous les ouverts contenant $a$ est le singleton $\{a\}$. $X$ fini implique que cette intersection est en fait finie et donc que $\{a\}$ est ouvert.
Bonne soirée

bridgslam
08-07-2023 19:27:36

Bonsoir,

Je me demande si ceci tient la route:

Je voudrais montrer que si X est un espace topologique fini et séparé, alors X est discret.

Je suppose donc X à la fois fini et séparé.

Si  $a \in X$ et $b \neq a $ je note $U_b$ l'ensemble des ouverts contenant a mais pas b.
Quel que soit b distinct de a, cet ensemble n'est pas vide, d'après la séparabilité,  et il est aussi fini car X est fini.
Son intersection $I_b$ , qui est une intersection finie d'ouverts, est un ouvert.

Mais $\{a\} = \cap_{ b \neq a } I_b $ est aussi un ouvert car X\{a} est évidemment fini.

J'ai toujours un doute dans ce genre de questions quand on frôle l'axiome du choix, mais semble-t-il pas nécessaire ici.

Alain

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