Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Je vais essayer de détailler mon raisonnement.
S'il vous plaît si quelqu'un pourrait me corriger, ça me serait très utile.

En reprenant les notations de Monsieur Fred:

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[img=maths]/Users/ffbenchakroungmail.com/Desktop/thumbnail_IMG_5688.jpg[/img]

J'ai utilisé comme arguments principaux:
- la convergence normale dans A permettant de faire tendre h vers 0 au sein de la somme
- le fait que si ψ est une fonction de l'ensemble des complexes vers A telle que définie ci-haut: ψ'(λ) = dψ(λ)

Merci de bien vouloir me corriger si je fais erreur.
Bien à vous,
Spike

Bonjour,

  Le point clé, c'est la formule de la dérivée (ou de la différentielle) d'une composée.
Commence par poser $\psi(\lambda)=\varphi(\exp(\lambda x))=\varphi \circ \exp(\lambda x).$

Tu as, par la formule de la dérivée d'une composée,
$$\psi'(\lambda)=d\varphi(\exp(\lambda x))( u'(\lambda))$$
où j'ai posé $u(\lambda)=\exp(\lambda x).$ La différentielle d'une application antilinéaire est facile à obtenir.
Concernant la dérivée de $u,$ tu peux écrire
$$\frac{u(\lambda +h)-u(\lambda)}{h}= \frac{ \exp((\lambda+h)x)-\exp(\lambda x)}{h}=\exp(\lambda x)\frac{\exp( hx)-Id}{h}$$
puis utiliser le fait que le dernier quotient tend vers $x$ (par une écriture en série de l'exponentielle).

Quand tu ajoutes l'inverse, il faut faire pareil en tenant compte cette fois de la différentielle de l'inverse.

F.

Bonjour à toutes et à tous,

J'espère que vous vous portez pour le mieux. J'aurais, je vous prie, une question sur les algèbres de Banach, en analyse.

Soit A be une algèbre de Banach complète d'unité e et φ : A → A a une application continue antilinéaire (au sens utilisé en anglais) tel que φ(exp(x)) soit inversible, pour tout x dans A. Soit f une fonction de l'ensemble des complexe vers A définie par:
f(λ) = [φ(exp(λx))]y[φ(exp(λx))]−1

1/ Comment puis-je calculer la dérivée de f par rapport à λ? Je ne sais pas en particulier comment calculer la dérivée de [φ(exp(λx))]−1.
2/ Comment montrer que f est harmonique?
D'avance un grand merci pour votre aide!