Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour Fred !

J'essaye un truc ! Je joins un fichier GeoGebra, consultable par clic dessus, suivi (il faut être patient) par une demande de chargement du fichier dans la fenêtre des téléchargements ! Est-ce clair ... ?

Graphiquement, j'essaye de mettre en évidence la continuité de la fonction f !?

https://www.cjoint.com/doc/22_08/LHjjae … -08-09.ggb

On peut faire tourner la figure avec la souris ...

Ce fichier présente 3 surfaces 3D, la bleue : z = x² ; la rouge : z = 2x² + y² - 1 ; et le cylindre vert : x² + y² = 1.

Si on déclic le cylindre vert, on voit alors les 2 surfaces qui se coupent selon "un cercle sinusoïdal", qui correspond à x² + y² = 1,en-dehors on prend donc la surface rouge, en-dedans la surface bleue.

On peut alors "voir" la continuité de la surface en 2 morceaux ... par leur raccord selon le "cercle sinusoïdal" ...

Fred, dis-moi ce que tu en penses, que faut-il améliorer ?

Cordialement, Bernard-maths

Bonsoir !

On peut envisager la continuité à droite de 0, et voir un prolongement par continuité à gauche de 0 ... et conclure à la continuité en 0.

B-m

Bonjour,

  Je vais essayer de t'expliquer à partir d'un exemple en une variable. Imaginons que tu considères la fonction $g$ définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=\sin(x)$ si $x<0$ et par $g(x)=\ln(1+x)$ si $x\geq 0$ et que tu veuilles démontrer que la fonction $g$ est continue sur $\mathbb R$. Alors le seul point qui pose problème est le point $0$. En effet, autour de $0$, aussi proche que l'on veut, il y a des points où la fonction $g$ est définie par $\sin(x)$ et d'autres par $\ln(1+x)$. Il y a donc deux expressions différentes pour $g$ au voisinage de $0$, et rien ne dit avant justification complémentaire que $g$ est continue en $0$. Dans les autres points de $\mathbb R$, on n'a pas ce problème car au voisinage de ces points, il y a une seule expression pour $g$.

  Ici, c'est pareil mais pour une fonction de deux variables : $f$ admet une certaine expression sur le disque unité fermé, et une autre sur le complémentaire de ce disque. Là où la continuité pose problème, et bien c'est sur la frontière du disque, c'est-à-dire le cercle unité. Au voisinage d'un point $(a,b)$ avec $a^2+b^2=1$, $f$ admet deux expressions possibles. Il faut donc travailler pour prouver la continuité.

F.