Famille uniformément intégrable
La condition d'uniforme intégrabilité est une condition portant sur un ensemble de fonctions mesurables et exprimant que les fonctions de cet ensemble sont intégrables de la même façon. Elle apparaît sous une forme légèrement différente en probabilité et en théorie de la mesure.
Soit $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$ un espace de probabilité et $\mathcal F$ une famille de variables aléatoires définies sur $\Omega$. On dit que $\mathcal F$ est uniformément intégrable si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
- il existe $M>0$ tel que, pour tout $X\in\mathcal F$, $\mathbb E(|X|)\leq M.$
- pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $X\in\mathcal F$ et pour tout $A\in\mathcal A$ vérifiant $\mathbb P(A)<\delta$, on a $\mathbb E(|X|\mathbf 1_A)\leq\varepsilon.$
Ces deux conditions sont encores équivalentes à : $$\forall \varepsilon>0,\ \exists K>0,\ \forall X\in\mathcal F,\ \mathbb E\left(|X|\mathbf 1_{|X|>K}\right)\leq\varepsilon$$ ou encore à $$\lim_{K\to+\infty}\sup_{X\in \mathcal F}\mathbb E\left(|X|\mathbf 1_{|X|>K}\right)=0.$$ On dit encore parfois que l'ensemble $\mathcal F$ est équi-intégrable.
Soit $(E,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré et $\mathcal F$ une famille de fonctions définies sur $E$, à valeurs réelles, et mesurables. On dit que $\mathcal F$ est uniformémement intégrable si , pour tout $\varepsilon>0,$ il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $f\in\mathcal F$ et tout $A\in\mathcal A$ avec $\mu(A)<\delta$, on a $$\int_A |f|d\mu<\veps.$$