Théorème du relèvement
Si $z$ est un nombre complexe de module $1,$ alors il existe un réel $\theta$ tel que $z=e^{i\theta}$ (ce réel n'est pas unique, mais défini à $2\pi$-près). Maintenant, si on considère une fonction $z$ définie sur un intervalle $I$, régulière, et telle que $z(t)\in\mathbb U=\{w\in\mathbb C:\ |w|=1\}$, peut-on trouver une fonction $\theta:I\to\mathbb R,$ avec la même régularité, et telle que $z(t)=e^{i\theta(t)}$ pour tout $t\in I$ ? Le théorème du relèvement nous dit que c'est effectivement le cas.
Théorème : Soit $u$ une fonction définie sur
un intervalle $I\subset\mathbb R$ à valeurs dans le cercle unité $\mathbb U.$
Soit $k\in\mathbb N.$ On suppose que $u$ est de classe $\mathcal C^k.$ Alors il existe une fonction
$\theta:I\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^k$ telle que, pour tout $t\in I,$
$$u(t)=\exp(i\theta(t)).$$
Une conséquence de ce théorème est que, si on se donne un arc paramétré continu (resp. dérivable, ...) qui ne passe pas par l'origine, alors il existe une détermination continue (resp. dérivable, ...) de l'angle le long de cet arc.
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