Produit mixte
Soient $\vec u,\ \vec v,\ \vec w$ trois vecteurs de l'espace orienté. On définit leur produit mixte par : $$[\vec u,\vec v,\vec w]=(\vec u\wedge\vec v)\cdot \vec w.$$
Le produit mixte de trois vecteurs est donc un nombre réel qu'on appelle aussi le déterminant de ces trois vecteurs. Il permet de caractériser si des vecteurs sont coplanaires :
Théorème :
Soient $\vec u,\ \vec v,\ \vec w$ trois vecteurs de l'espace orienté. Alors ces trois vecteurs
sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul.
Par ailleurs, le produit mixte vérifie les propriétés suivantes :
- il est linéaire par rapport à chaque variable : $$[\lambda \vec u+\vec t,\vec v,\vec w]=\lambda [\vec u,\vec v,\vec w]+[\vec t,\vec v,\vec w].$$
- le produit mixte est inchangé quand on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres vecteurs : $$[\vec u,\vec v,\vec w]=[\vec u+\lambda \vec v+\mu\vec t,\vec v,\vec w].$$
- il est invariant par permutation circulaire : $$[\vec u,\vec v,\vec w]=[\vec v,\vec w,\vec u]=[\vec w,\vec u,\vec v].$$
Pourquoi ce nom produit mixte? Sans doute parce qu'il fait intervenir
à la fois le produit vectoriel et le produit scalaire.
Consulter aussi
Recherche alphabétique
Recherche thématique