Produit de Kronecker de deux matrices
Soit $A\in\mathcal M_{m,n}(\mathbb K)$ et $B\in\mathcal M_{p,q}(\mathbb K).$ On appelle produit de Kronecker de $A$ et $B,$ et l'on note $A\otimes B$, la matrice de $\mathcal M_{mp,nq}(\mathbb K)$ définie par $$A\otimes B= \begin{pmatrix} a_{1,1}B&\dots&a_{1,n}B\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n,1}B&\dots&a_{n,n}B. \end{pmatrix}. $$
Le produit de Kronecker est bilinéaire et associatif. Sous réserve de compatibilité des tailles pour $A,$ $B$ et $C,$ on a $$A\otimes (B+\lambda C)=A\otimes B+\lambda A\otimes C,$$ $$(A+\lambda B)\otimes C=A\otimes C+\lambda B\otimes C,$$ $$A\otimes(B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C.$$ De plus, toujours sous réserve de compatibilité des tailles, on a $$(A\otimes B)\otimes (C\otimes D)=(AC)\otimes (BD).$$ En particulier, si $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ et $B\in\mathcal M_p(\mathbb K),$ alors $A\otimes B$ est inversible si et seulement si $A$ et $B$ sont inversibles, et dans ce cas $$(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}.$$ En revanche, on n'a pas en général $A\otimes B=B\otimes A.$
Toujours dans le cas où $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ et $B\in\mathcal M_p(\mathbb K)$ sont des matrices carrées, on a en outre les propriétés suivantes :
- $\textrm{Tr}(A\otimes B)=\textrm{Tr}(A)\textrm{Tr}(B)$ ;
- $\det(A\otimes B)=(\det(A)\det(B))^n$ ;
- $\textrm{rg}(A\otimes B)=\textrm{rg}(A)\times \textrm{rg}(B).$
- les valeurs propres de $A\times B$ sont les produits $\lambda\times \mu$ où $\lambda$ est une valeur propre de $A$ et $\mu$ est une valeur propre de $B.$
Si $A$ et $B$ sont les matrices des applications linéaires $f$ et $g$, $A\otimes B$
est la matrice de l'application linéaire produit tensoriel $f\otimes g$
dans des bases bien choisies.