Polynôme réciproque

Si $P$ est un polynômes à coefficients complexes qui s'écrit $$P=a_0+a_1X+\cdots+a_{n-1}X^{n-1}+a_{n}X^n,$$ alors son polynôme réciproque est le polynôme $$P^*=\overline{a_0}X^n+\overline{a_1}X^{n-1}+\cdots+\overline{a_{n-1}}X+\overline{a_n}.$$ Autrement dit, pour tout nombre complexe $z,$ on a $$P^*(z)=z^n \overline{P\left(\frac{1}{\overline z}\right)}.$$ Un polynôme est dit réciproque s'il est égal à son polynôme réciproque. Dans le cas réel, ceci revient à $a_{n-k}=a_k$ pour tout $k=0,\dots,n.$ On parle alors aussi de polynôme palindromique.

Il existe une méthode simple pour ramener la recherche des racines d'un polynôme réciproque de degré $2n$ à la recherche des racines d'un polynôme de degré $n.$