Quelques matrices particulières
Une matrice $M$ de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ est dite
- symétrique si ${}^tM=M$. Une matrice symétrique réelle est toujours diagonalisable. En outre, la matrice de passage peut-être choisie orthogonale (cf ci-dessous).
- antisymétrique si ${}^tM=-M$. Une matrice antisymétrique est toujours de rang pair. En particulier, si $n$ est impair et $M$ est antisymétrique, alors $\det(M)=0$.
- orthogonale si ${}^tMM=M{}^tM=I_n$. Une matrice orthogonale est la matrice de passage d'une base orthonormale à une autre.
Si $M$ est une matrice de $\mathcal M_n(\mathbb C)$, on a des définitions analogues, mais légèrement différentes. La matrice $M$ est dite
- hermitienne si $M^* =M$ (ici, $M^*$ désigne la matrice adjointe de $M$). Une matrice hermitienne a ses valeurs propres réelles, est diagonalisable, la matrice de passage pouvant être choisie unitaire (cf ci-dessous).
- antihermitienne si $M^* =-M$. Une matrice antihermitienne a ses valeurs propres imaginaires pures (éventuellement égales à $0$), et est diagonalisable, la matrice de passage pouvant être choisie unitaire.
- unitaire si $M^*M=MM^*=I_n$. Toute matrice unitaire est une matrice de changement de base orthonormale. De plus, elle est diagonalisable, ses valeurs propres étant de module 1, et la matrice de passage peut être choisie unitaire.
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