$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Dictionnaire de mathématiques > Arithmétique >

Fraction continue

On appelle fraction continue toute expression de la forme $$a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\dots}}}$$ où $a_0,a_1,\dots$ sont des entiers strictement positifs, sauf peut-être $a_0$, et où le nombre de traits de fractions peut être fini ou infini. Si $(a_n)_{n\geq 0}$ est une suite d'entiers tous strictement positifs, sauf peut-être $a_0$, on note $[a_0,a_1,\dots,]$ la fraction continue correspondante. Si tous les $a_n$ sont nuls à partir du rang $N$ (c'est-à-dire si le nombre de traits de fractions est fini), alors on note simplement $[a_0,\dots,a_N]$ et on dit que la fraction continue est finie.

La première chose à remarquer est qu'une fraction continue définit un unique réel. En effet, si on note $(x_n)$ la suite $([a_0,\dots,a_n])_n$, alors la suite $(x_n)_n$ converge. De plus, si $([a_0,\dots,a_n])_n$ et $([b_0,\dots,b_n])_n$ convergent vers la même limite, alors on a $a_k=b_k$ pour tout $k\geq 0.$ Réciproquement, tout réel strictement positif $x$ admet un développement en fraction continue, c'est-à-dire qu'il existe une unique suite $(a_n)_n$ telle que la suite $([a_0,\dots,a_n])_n$ converge vers $x.$ La suite $(a_n)$ peut être calculée par récurrence :

  • on pose $x_0=x$ et $a_0=\lfloor x\rfloor$ 
  • si $x_n$ n'est pas entier, on pose $x_{n+1}=\frac{1}{x_n-a_n}$ et $a_{n+1}=\lfloor x_{n+1}\rfloor$ ; si $x_n$ est entier, alors $x_{n+1}=0$.

Les développements en fraction continue sont très importants en arithmétique. Ainsi, un réel positif est rationnel si et seulement si son développement en fraction continue est finie. De plus, comme dans le cas des développements décimaux, les développements en fraction continue périodiques jouent un rôle particulier. Dans la suite, nous dirons qu'une fraction continue $[a_0,a_1,\dots]$ est périodique s'il existe deux entiers $r,s\geq 1$ tels que $a_{n+s}=a_n$ pour tout $n\geq r$.

Théorème : Le développement en fraction continue d'un réel strictement positif $x$ est périodique si et seulement si $x$ est un nombre irrationnel quadratique, c'est-à-dire un nombre irrationnel racine d'un polynôme de degré $2$ du type $aX^2+bX+c$ où $a,b,c\in\mathbb Z.$

Exemple : Le nombre d'or, $\frac{1+\sqrt 5}2,$ solution de l'équation $x^2-x-1=0,$ admet pour développement en fraction continue $[1,1,1,\dots]$.

Les développements en fraction continue jouent aussi un grand rôle dans l'approximation par des rationnels des nombres irrationnels : à dénominateur donné, le $n$-ème terme du développement en fraction continue donne la meilleure approximation possible.

Théorème : Soit $x$ un nombre irrationnel et soit $[a_0,a_1,\dots]$ son développement en fraction continue. Soit $n\geq 1$ et soit $\frac{p_n}{q_n}$ l'écriture sous forme de fraction irréductible de $[a_0,\dots,a_n]$. Alors, pour tous $(p,q)\in\mathbb N\times\mathbb N^*$ avec $q\leq q_n,$ on a $$\left|x-\frac{p_n}{q_n}\right|<\left|x-\frac pq\right|.$$

Exemple : Le développement en fraction continue de $\pi$ est $[3,7,15,1,\dots]$. La fraction continue finie $[3,7,15,1]$ est égale à $355/113$. Et on a $$\frac{355}{113}=3,\!1415929\dots$$ soit déjà les 6 premières décimales de $\pi.$

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