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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Algèbre linéaire > Réduction des endomorphismes >

Diagonalisation simultanée

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, et $u_1,\dots,u_p$ des endomorphismes de $E$. On dit que $u_1,\dots,u_p$ sont simultanément diagonalisables s'il existe une base de $E$ dans laquelles les matrices de tous les endomorphismes $u_1,\dots,u_p$ sont diagonales.

Théorème : Soit $u_1,\dots,u_p$ des endomorphismes de $E.$ Les assertions suivantes sont équivalentes :
  • $u_1,\dots,u_p$ sont simultanément diagonalisables.
  • pour tous $i,j\in\{1,\dots,p\}$, $u_i$ est diagonalisable et $u_i\circ u_j=u_j\circ u_i.$
La diagonalisation simultanée a une grande importance en mécanique quantique : elle correspond à l'observation simultanée de deux grandeurs comme la vitesse et l'énergie. Deux endomorphismes qui ne commutent pas correspondent à deux grandeurs qu'on ne peut pas observer simultanément (position et vitesse par exemple).
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