Partie dense
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $D$ une partie de $E.$ On dit que $D$ est dense dans $E$ si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :
- pour tout $x\in E$, il existe une suite $(y_n)$ d'éléments de $D$ qui converge vers $x$ ;
- pour tout $x\in E$, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $y\in D$ avec $\|y-x\|\leq \varepsilon$ ;
- l'adhérence $\bar D$ de $D$ est égale à $E$ ;
- tout ouvert non vide de $E$ contient un élément de $D.$
Ces définitions peuvent être généralisées au cas des espaces métriques (en remplaçant la norme par la distance), et les deux dernières peuvent même l'être aux espaces topologiques généraux.
Exemples :
- l'ensemble des nombres rationnels $\mathbb Q$ est dense dans l'ensemble des nombres réels $\mathbb R$. C'est aussi le cas de l'ensemble des nombres irrationnels $\mathbb R\backslash\mathbb Q$ et des nombres décimaux $\mathbb D$ ;
- l'ensemble des matrices inversibles $GL_n(\mathbb K)$ est dense dans l'espace des matrices $\mathcal M_n(\mathbb K)$ ;
- l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal M_n(\mathbb C)$ est dense dans $\mathcal M_n(\mathbb C),$ mais l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ n'est pas dense dans $\mathcal M_n(\mathbb R)$ ;
- pour $a<b$ des réels, l'ensemble des fonctions polynômiales est dense dans $\mathcal C([a,b])$ muni de $\|\cdot\|_\infty$ ;
- l'espace vectoriel $c_{00}$ des suites nulles à partir d'un certain rang est dense dans l'espace de Banach $c_0$ des suites de limite nulle. Il est aussi dense dans $\ell^p$, l'espace de Banach des suites de puissance $p$-ème sommable, pour $p\in[1,+\infty[.$ Il n'est pas dense dans $\ell^\infty,$ l'espace de Banach des suites bornées ;
- pour $p\in[1,+\infty[,$ l'espace $C_c^0(\mathbb R)$ des fonctions continues à support compact est dense dans $L^p(\mathbb R)$. Ceci est faux pour $p=+\infty,$ l'adhérence de $C_c^0(\mathbb R)$ étant l'espace des fonctions continues qui tendent vers $0$ en $\pm\infty.$
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