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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Intégration >

Convergence en mesure

Soit $(\Omega,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré (par exemple un espace de probabilité) et $f,\ (f_n)_{n\in\mathbb N}:\Omega\to\mathbb C$ des fonctions mesurables. On dit que $(f_n)$ converge en mesure vers $f$ si, pour tout $\varepsilon>0,$ $$\lim_{n\to+\infty}\mu\left(\left\{x\in\Omega:\ |f_n(x)-f(x)|\geq\veps\right\}\right)=0.$$ Lorsque $\mu$ est une mesure de probabilité, on retrouve la convergence en moyenne des suites de variables aléatoires.

Théorème : Si $\mu$ est une mesure finie, la convergence presque partout entraîne la convergence en mesure. Réciproquement, si $(f_n)$ converge en mesure vers $f,$ ou si $(f_n)$ converge vers $f$ dans $L^p(\Omega),$ $p\geq 1,$ alors il existe une sous-suite $(f_{n_k})$ qui converge presque partout vers $f.$
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