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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Suites et séries de fonctions > Séries de Fourier >

Théorème de Carleson

Théorème : Soit $f:\mathbb R\to\mathbb C$ une fonction $2\pi$-périodique et telle que $|f|^2$ soit intégrable sur $[0,2\pi]$. Alors la série de Fourier de $f$ converge presque partout vers $f$.

Ce résultat de Carleson, prouvé en 1966, complète notamment un résultat de Kolmogorov, qui dit que si $f$ est supposée simplement intégrable (et non plus de carré intégrable), il est possible que sa série de Fourier diverge presque partout (et même partout !). Un an après Carleson, Hunt a prouvé qu'on peut supposer que $f$ est dans $L^p([0,2\pi])$, pour $1<p<+\infty.$

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