Théorème de Carathéodory
Théorème (Carathéodory) : Soit $E$ un espace vectoriel normé ou un espace affine de dimension $n$, et $A$ une partie de $E$. Alors tout élément
de l'enveloppe convexe de $A$ est combinaison convexe de $(n+1)$ éléments de $A.$
On sait que si $y\in E$ est dans l'enveloppe convexe de $A$, alors il existe $p\in \mathbb N^*,$ $a_1,\dots,a_p\in A$ et $t_1,\dots,t_p\in\mathbb R_+$ tels que $$y=t_1a_1+\cdots+t_p a_p$$ et $t_1+\cdots+t_p=1$. Le théorème de Carathéodory dit que l'on peut toujours choisir les points $a_i$ et les réels $t_i$ de sorte que $p\leq n+1$.
Le théorème de Carathéodory admet le très intéressant corollaire suivant :
Corollaire : Dans un espace vectoriel normé ou un espace affine de dimension finie,
l'enveloppe convexe d'un compact est compacte.
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