Formule du capitaine
La formule du capitaine est le théorème suivant : soit $n$ un entier naturel non nul et $k$ un entier tel que $1\leq k\leq n.$ Alors $$k\binom{n}{k}=n \binom{n-1}{k-1}.$$ Le nom formule du capitaine (mais on rencontre aussi cette formule sous le nom de formule du président, formule du chef, etc ..., vient de sa démonstration combinatoire : on considère $n$ personnes réunies, et on souhaite constituer, parmi ces $n$ personnes, constituer une équipe de $k$ personnes parmi lesquelles on identifie un capitaine. Combien y-a-t-il de choix possibles ? On peut réaliser ce dénombrement de deux façons différentes :
- on choisit $k$ personnes parmi $n$ (il y a donc $\binom nk$ choix possibles), puis, parmi ces $k$ personnes, on choisit un capitaine. Il y a donc $k\binom nk$ choix possibles.
- on choisit d'abord le capitaine, puis ensuite les $k-1$ personnes de l'équipe parmi les $n-1$ personnes restantes. Il y a donc $k\binom{n-1}{k-1}$ choix possibles.
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