Enoncé Soit $f\in\mathcal L(E)$. Démontrer que $\ker(f)$, $\ker(f-Id)$ et $\ker(f+Id)$ sont en somme directe.
Indication Supposer qu'il y a une écriture $x+y+z=0$ avec $x,y,z$ dans les espaces respectifs, et composer (deux fois) par $f$.
Corrigé Soient $x\in \ker(f)$, $y\in\ker(f-Id)$ et $z\in\ker(f+Id)$ tels que $x+y+z=0$. Il s'agit de prouver que $x=y=z=0$. Appliquons $f$ à la relation $x+y+z=0$. On trouve
$$f(x+y+z)=y-z=0.$$ On applique à nouveau $f$ et on trouve $y+z=0$. On a donc le système d'équations :
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x+y+z&=&0\\
y-z&=&0\\
y+z&=&0.
\end{array}\right.$$
On en déduit facilement (par exemple en commençant par faire la somme des deux dernières équations) que $x=y=z=0$. Ainsi, $\ker(f)$, $\ker(f-Id)$ et $\ker(f+Id)$ sont en somme directe.