Indication La matrice est de taille $4\times 4$.
Il faut calculer $f(E_{1,1})$ et l'exprimer dans $E_{1,1},E_{1,2},E_{2,1},E_{2,2}$.
Corrigé La preuve de la linéarité de $f$ est laissée au lecteur. Rappelons que la
base canonique de $M_2(\mathbb R)$ est la base $(E_{1,1},E_{1,2},E_{2,1},E_{2,2})$
avec
$$E_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&0
\end{array}\right)\quad
E_{1,2}=\left(\begin{array}{cc}
0&1\\
0&0
\end{array}\right)\quad
E_{2,1}=\left(\begin{array}{cc}
0&0\\
1&0
\end{array}\right)\quad
E_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}
0&0\\
0&1
\end{array}\right).$$
Il suffit de calculer l'image par $f$ de ces matrices, et de les exprimer dans la base canonique.
Mais on a
$$f(E_{1,1})=\left(\begin{array}{cc}
-1&0\\
1&0
\end{array}
\right)=-1E_{1,1}+0E_{1,2}+1E_{2,1}+0E_{2,2},$$
$$f(E_{1,2})=\left(\begin{array}{cc}
0&-1\\
0&1
\end{array}
\right)=0E_{1,1}-1E_{1,2}+0E_{2,1}+1E_{2,2},$$
$$f(E_{2,1})=\left(\begin{array}{cc}
2&0\\
0&0
\end{array}
\right)=2E_{1,1}+0E_{1,2}+0E_{2,1}+0E_{2,2},$$
$$f(E_{2,2})=\left(\begin{array}{cc}
0&2\\
0&0
\end{array}
\right)=0E_{1,1}+2E_{1,2}+0E_{2,1}+0E_{2,2}.$$
La matrice de $f$ dans la base canonique de $M_2(\mathbb R)$ est donc
$$\left(\begin{array}{cccc}
-1&0&2&0\\
0&-1&0&2\\
1&0&0&0\\
0&1&0&0
\end{array}
\right).$$