Corrigé 
On a
$$f(x,y,z)=0\iff
x+y-z=0\iff\left\{
\begin{array}{rcl}
x&=&x\\
y&=&y\\
z&=&x+y
\end{array}\right..$$
$\ker(f)$ est donc un plan vectoriel, de base $(u,v)$
avec $u=(1,0,1)$ et $v=(0,1,1)$. D'après le théorème du rang, on sait que
$\textrm{Im}(f)$ est de dimension 1. Il est engendré par exemple
par le vecteur non nul $w=f(e_1)=(1,-3,-2)$.
On remarque que $w=u-3v$ est élément de $\ker(f)$. Ainsi, $\textrm{Im}(f)\subset\ker(f)$
et donc $f^2=0$. Par suite, $f^n=0$ pour tout $n\geq 2$ et la matrice de $f^n$ dans la base canonique
de $\mathbb R^3$ est elle aussi nulle. Donc $M^n=0$ pour tout $n\geq 2$.
