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Morphismes de groupes - Bibm@th.net

Exercice 1 - Morphismes de groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $G$ un groupe. Soit $f:\mathbb Z/n\mathbb Z\to G$ un morphisme de groupes.
  1. Démontrer que $f$ est complètement caractérisé par $f(\bar 1)$.
  2. Existe-t-il des éléments d'ordre 3 dans $\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/4\mathbb Z$? En déduire les morphismes de groupe de $\mathbb Z/3\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/4\mathbb Z$.
  3. On suppose maintenant que $f$ est un morphisme de groupes de $\mathbb Z/18\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/15\mathbb Z$. Quels sont les ordres possibles de $f(\bar 1)$? En déduire tous les morphismes de groupe de $\mathbb Z/18\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/15\mathbb Z$.
Indication
Corrigé