\'Equations linéaires - Bibm@th.net

Exercice 1 - Équations linéaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Résoudre les équations suivantes :

1. $\bar 7x=\bar 2$ dans $\mathbb Z/37\mathbb Z$;
2. $\overline{10}x=\bar 6$ dans $\mathbb Z/34\mathbb Z$;
3. $\overline{10}x=\bar 5$ dans $\mathbb Z/34\mathbb Z.$

Indication

1. Chercher l'inverse de $\bar{7}$ dans $\mathbb Z/37\mathbb Z$, en résolvant une équation de Bezout.
2. Traduire cette équation en terme de congruences.

Corrigé

1. On cherche d'abord l'inverse de $\bar 7$ dans $\mathbb Z/37\mathbb Z$. Cela revient a résoudre l'équation de Bezout $7u+37v=1$. En appliquant l'algorithme d'Euclide, on trouve qu'une solution particulière est donnée par $16\times 7-3\times 37=1$. Ainsi, $\overline{16}$ est inverse de $\overline{7}$ dans $\mathbb Z/37\mathbb Z$. Il vient $$\bar 7x=\bar 2\iff \overline{16}\times \bar 7x=\overline{16}\times \bar 2\iff x=\overline{32}.$$
2. La situation est un peu plus difficile car $10$ et $34$ ne sont pas premiers entre eux, mais on va tout de même pouvoir simplifier. Soit $k\in\mathbb Z$ tel que $x=\bar k.$ Alors on a \begin{eqnarray*} \overline{10}x=\bar 6&\iff&10k\equiv 6\ [34]\\ &\iff& \exists m\in\mathbb Z,\ 10k=6+34m\\ &\iff&\exists m\in\mathbb Z,\ 5k=3+17m\\ &\iff&5k\equiv 3\ [17] \end{eqnarray*} On cherche ensuite un entier $a$ tel que $5a\equiv 1\ [17].$ On peut appliquer l'algorithme de Bézout, ou remarquer que $7$ convient. On en déduit \begin{eqnarray*} \overline{10}x=\bar 6&\iff&35k\equiv 21\ [17]\\ &\iff&k\equiv 4\ [17]\\ &\iff&k=4+17\ell,\ \ell\in\mathbb Z. \end{eqnarray*} Finalement, les solutions de l'équation initiale sont $\{\overline{4},\overline{21}\}.$
3. Cette fois, l'équation n'a pas de solutions. En effet, si $x=\bar k,$ on obtient $10k=5+34m,$ avec $m\in\mathbb Z,$ et le membre de gauche est divisible par $2$ alors que le membre de droite ne l'est pas.